19 svar

671 visningar

William2001 behöver inte mer hjälp

Reflektion i planet. Linjär algebra

Hejsan jag skulle behöva lite hjälp med följande upg.

Mot det speglande planet x+2y+3z=0 infaller en ljusstråle längs linjen x=-y=z. Sök ekvationen för den linje längs vilken strålen reflekteras.

Jaha, jag tänker mig att man borde gå tillväga enl. ungefär följande.

1) Bestäma vinkeln mellan linjen och planet.

2) Beräkna motsatta vinkeln. Som jag inte kommer ihåg hur man gör.

3) utnyttja på ngt sätt vinkel för att bestäma den andra linjens ekv.

Steg ett klarar jag själv. Men sen vet jag inte hur jag ska göra.

Steg 0: Rita upp en bild och lägg upp den här.

Smaragdalena skrev:
Steg 0: Rita upp en bild och lägg upp den här.

Det där planet ser mer ut som y=0 än x+2y+3z=0 för mig. Jag skulle behöva se vad det blir för vinkel mellan planet x+2y+3z=0 och ljusstrålen x=-y=z. Kanske är det enklast att rita planet som du har gjort det, men jag skulle behöva en lite mer övertygande motivering till hur strålen är relativt planet.

Vad kom du fram till för vinkel på steg 1?

Smaragdalena skrev:
Det där planet ser mer ut som y=0 än x+2y+3z=0 för mig. Jag skulle behöva se vad det blir för vinkel mellan planet x+2y+3z=0 och ljusstrålen x=-y=z. Kanske är det enklast att rita planet som du har gjort det, men jag skulle behöva en lite mer övertygande motivering till hur strålen är relativt planet.
Vad kom du fram till för vinkel på steg 1?

vinkeln mellan den inkomande strålen och planet:

$θ = a r c \sin (\frac{2}{\sqrt{42}})$

Det verkar vara en väldigt liten vinkel - väldigt långt från de ungefär 45^o som du har ritat. Räknar man med vinkeln mot planet eller vinkeln mot planets normal?

Smaragdalena skrev:
Det verkar vara en väldigt liten vinkel - väldigt långt från de ungefär 45^o som du har ritat. Räknar man med vinkeln mot planet eller vinkeln mot planets normal?

Jag beräknade vinkeln mot planet. Om man söker den mot normalen är det väll bara att ta 90°- $θ$ .

Ja, det stämmer angående bilden. Jag gjorde bara en schematisk skiss, ty jag har inget pogram att rita i. (Går på komvux så jag kan t.e.x inte använda matlab) ):

Infallsvinkel är väll lika stor som utfallsvinkel, så isf, måste reflexionssvinkeln vara lika med $θ$ ,men sedan?

Det finns gott om gratisprogram på nätet, t ex WolframAlpha och Geogebra.

smaragdalena, det går inte att förlita sig på ritningar så mycket. Williams ritning är självklart bara schematisk.

Hej William, hur bestämde du den vinkeln? Använd $\cos (\theta)=\frac{v\cdot w}{||v||||w||}$ för att beräkna vinkeln där v och w är riktningsvektor och normalvektor. Vinkeln kommer bli halva, alltså mellan normalen och infallet.

Vi behöver en annan viktig ingrediens, skärningen mellan strålen och planet.

Qetsiyah skrev:
smaragdalena, det går inte att förlita sig på ritningar så mycket. Williams ritning är självklart bara schematisk.
Hej William, hur bestämde du den vinkeln? Använd $\cos (\theta)=\frac{v\cdot w}{||v||||w||}$ för att beräkna vinkeln där v och w är riktningsvektor och normalvektor. Vinkeln kommer bli halva, alltså mellan normalen och infallet.
Vi behöver en annan viktig ingrediens, skärningen mellan strålen och planet.

OK, ska beräkna den och återkomma, brb.

De skär i origo.

En liten kommentar bara, det kan eventuellt bli fel med vinkelräkningen då vektorerna pekar åt olika håll, vinkeln kommer då bli mer än 90 grader (vi kommmer få komplementet). Var försiktig för det. I denna uppgift blir det inga problem om du använder (1, -1, 1) för linjen och (1, 2, 3) för normalen.

Qetsiyah skrev:
En liten kommentar bara, det kan eventuellt bli fel med vinkelräkningen då vektorerna pekar åt olika håll, vinkeln kommer då bli mer än 90 grader (vi kommmer få komplementet). Var försiktig för det. I denna uppgift blir det inga problem om du använder (1, -1, 1) för linjen och (1, 2, 3) för normalen.

Och detta ger reflektionsvinkeln?

I den här bilden är den röda pilen riktad åt $(1,2,3)$ , den gröna linjen har "riktningen" $(1,-1,1)$ (bort från origo) eller riktningen $(-1,1,-1)$ (mot origo). Din uppgift är att hitta en riktningsvektor för den blå linjen. Det spelar egentligen ingen roll om den pekar mot eller bort från planet, men du måste hålla ordning på riktningarna när/om du försöker hitta vinklarna genom skalärprodukten mellan vektorerna.

Jag undrar om det inte är tänkt att man skall använda verktyg från linjär algebra för att lösa detta istället för geometri och trigonometri. Det står ju att det är en uppgift inom linjär algebra.

Om v är en riktningsvektor för den ursprungliga linjen så kan vi få riktningsvektorn v_R för den reflekterade linjen genom att reflektera v i planet, som antas ha enhetsnormal n. Formeln för detta är känd och ges av

v_R = v - 2proj_n(v) = v - 2(n $∙$ v)n.

Sedan måste man förstås, som sagts, ta reda på den punkt Q där den första linjen träffar planet.

Jag tror att PATENTERAMERA har alldeles rätt i att det är meningen att man skall lösa detta med hjälp av linjär algera, men jag tror också att de andra sätten att tänka bidrar till att man förstår vad det är man gör och att matematiken hänger ihop på så många underbara sätt.

Hm, jag gör visst ngn tabbe i uträkning i alla fall.

$u' = (1, - 1, 1) - 2 \frac{(1, - 1, 1) (1, 2, 3)}{| 1, 2, 3 |} (1, 2, 3) = (\frac{5}{7}, - \frac{11}{7}, \frac{1}{7}) D e t s k u l l e v a r i t : (5, - 11, 1) så jag har en faktor p å \frac{1}{7} som inte borde vara där Kan jag bryta utt den ? Jag vet att jag kan göra \det med t . ex en normalvektor av typen (4, 2, 2) = 2 (2, 1, 1) och få (2, 1, 1) men jag eg . osäker på när man kan oc h inte kan göra dylika förenklingar . Kanske bör man tänka på att förhållandet är a och o i fallet med en riktning och att \det helt enkelt är rätt båda två men att \det facit anger är mer estetiskt tilltalande . Så att man helt enkelt förenklar efter samma princip som för en empirisk formel i kemin . Stämmer \det ?$

Linjerna $r(5,-11,1)$ , $\frac s7(5,-11,1)$ och $t(-5,11,-1)$ är exakt samma linje. Enda skillnaden är att man har olika skalning eller tecken på parametrarna. Det viktiga är alltså komponenternas inbördes förhållande. Själva skalningen kan du baka in i parametern. Detsamma gäller tecknet (genomloppsriktningen vid en parameterframställning).

Man brukar välja att ange riktningsvektorn utan bråkdelar för att det ska se trevligare ut (som du själv är inne på)

Det bästa är att ange linjen som $t(-5,11,-1)$ om man antagit normalen $(1,2,3)$ eftersom riktningsvektorn då pekar åt "rätt håll" för växande $t$ . Men det är en petitess.

Om du har en linje genom en punkt P med riktningsvektor v så kan vi skriva linjen som P + tv.

Men vi skulle lika gärna kunna skriva den som P + t $\cdot$ 7v.

Det är samma linje. Går genom samma punkt P och har samma riktning, eftersom v och 7v är parallella vektorer.

Tack för hjälpen. (:

Svara

Visa senaste svar