Reflektion av laserstråle i ett plan
Hej!
Jag har fastnat på en uppgift i linjär algebra. Uppgiften är följande:
En laserstråle skjuts iväg från punkten P: (1, 0, 1) och reflekteras i planet pi med ekvation 2x-y+z=0. Den reflekterade strålen observeras i Q: (3, 1, -1). Bestäm den punk i planet i vilken laserstrålen reflekteras.
Jag har några problem med uppgiften. Först och främst undrar jag om de menar att strålen studsar mot planet eller om de menar spegling som jag uppfattat är något annat. Om det nu är så att strålen studsar hur skulle jag då finna punkten jag letar efter? Det ända jag har är ju två punkter, ett plan och en normalvektor till planet.
Tack på förhand!
På vilket sätt menar du att det går till om laserstrålen studsar? På vilket sätt menar du att det går till om laserstrålen speglas? Vad är skillnaden?
Börja - som vanligt - med att rita upp en bild osm visar allt du vet. Eller försök åtminstone, det är inte enkelt om det är i tre dimensioner...
Jag tycker det låter som reflektion, dvs 'spegling'. Det skall finnas en formeln för det. Om jag inte missminner mig är det 2proj(u)-u eller något liknande som är reflektion men man behöver egentligen inga färdiga formler.
Dracaena skrev:Jag tycker det låter som reflektion, dvs 'spegling'. Det skall finnas en formeln för det. Om jag inte missminner mig är det 2proj(u)-u eller något liknande som är reflektion men man behöver egentligen inga färdiga formler.
Jag testade att lösa den genom att först skapa vektorn PQ och därefter använda den och punkten P för att skapa en linje. Därefter hittade jag skärningspunkten mellan denna linje och planet vilket gav mig fel svar. Om de menar spegling (alltså motsvarande punkt på andra sidan planet) borde inte detta då ge mig rätt svar?
Hitta spegelbilden P' till P. Den reflekterade strålen går genom både P' och Q. Rita!
Dr. G skrev:Hitta spegelbilden P' till P. Den reflekterade strålen går genom både P' och Q. Rita!
I det fallet, blir inte linjerna med PQ som riktningsvektor samt P'Q som riktningsvektor samma linjer?
Denna bild visar hur jag tolkar situationen:
Visa steg för steg hur du har gjort, så har vi en större chans att hjälpa dig vidare. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är usla på tankeläsning.
Smaragdalena skrev:Visa steg för steg hur du har gjort, så har vi en större chans att hjälpa dig vidare. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är usla på tankeläsning.
Detta är min så jag försökte lösa uppgiften, men fick som sagt fel svar.
Det blir lite konstigt i din bild. P och Q måste ligga på samma sida om planet om laserstrålen skall kunna gå från P till Q genom en reflektion.
Det är en fördel om man känner till Fermats princip här. Ljuset tar den väg som minimerar den tid det tar för ljuset att gå från P till planet och sedan till Q.
Ett sätt att hitta den punkt i planet som minimerar tiden är att ta fram punkten Q:s spegling i planet, kalla den Q’. Om man tänker sig att ljuset går från P till någon punkt i planet och sedan, på något sätt, skulle fortsätta till både Q och Q’ så inser man att det skulle ta lika lång tid för ljuset att nå punkten Q som punkten Q’, eftersom avstånden är lika. Om ljuset skulle gå i en rät linje från P till Q’ så är det det snabbaste sättet att nå punkten Q’, eftersom en rät linje ger det kortaste avståndet mellan två punkter. Men då måste detta även ge den snabbaste vägen mellan P och Q (som går via planet). Se figur nedan.
Så man skulle kunna gå tillväga som följer:
Bestäm Q’.
Bestäm linjen mellan P och Q’.
Bestäm var linjen skär planet. Det är då den punkt där ljuset kommer reflekteras på sin väg från P till Q.
Ytterligare ett exempel på hur viktigt det är att rita en bild!
PATENTERAMERA skrev:Det blir lite konstigt i din bild. P och Q måste ligga på samma sida om planet om laserstrålen skall kunna gå från P till Q genom en reflektion.
Det är en fördel om man känner till Fermats princip här. Ljuset tar den väg som minimerar den tid det tar för ljuset att gå från P till planet och sedan till Q.
Ett sätt att hitta den punkt i planet som minimerar tiden är att ta fram punkten Q:s spegling i planet, kalla den Q’. Om man tänker sig att ljuset går från P till någon punkt i planet och sedan, på något sätt, skulle fortsätta till både Q och Q’ så inser man att det skulle ta lika lång tid för ljuset att nå punkten Q som punkten Q’, eftersom avstånden är lika. Om ljuset skulle gå i en rät linje från P till Q’ så är det det snabbaste sättet att nå punkten Q’, eftersom en rät linje ger det kortaste avståndet mellan två punkter. Men då måste detta även ge den snabbaste vägen mellan P och Q (som går via planet). Se figur nedan.
Så man skulle kunna gå tillväga som följer:
Bestäm Q’.
Bestäm linjen mellan P och Q’.
Bestäm var linjen skär planet. Det är då den punkt där ljuset kommer reflekteras på sin väg från P till Q.
Så med andra ord är det som jag antog i början (att reflektion och spegling inte syftar på samma sak). Nu när jag har denna bild av uppgiften tror jag att jag bör kunna lösa uppgiften. Jag återkommer snart med en lösning!
Tack för hjälpen :)
TheDovah skrev:PATENTERAMERA skrev:Det blir lite konstigt i din bild. P och Q måste ligga på samma sida om planet om laserstrålen skall kunna gå från P till Q genom en reflektion.
Det är en fördel om man känner till Fermats princip här. Ljuset tar den väg som minimerar den tid det tar för ljuset att gå från P till planet och sedan till Q.
Ett sätt att hitta den punkt i planet som minimerar tiden är att ta fram punkten Q:s spegling i planet, kalla den Q’. Om man tänker sig att ljuset går från P till någon punkt i planet och sedan, på något sätt, skulle fortsätta till både Q och Q’ så inser man att det skulle ta lika lång tid för ljuset att nå punkten Q som punkten Q’, eftersom avstånden är lika. Om ljuset skulle gå i en rät linje från P till Q’ så är det det snabbaste sättet att nå punkten Q’, eftersom en rät linje ger det kortaste avståndet mellan två punkter. Men då måste detta även ge den snabbaste vägen mellan P och Q (som går via planet). Se figur nedan.
Så man skulle kunna gå tillväga som följer:
Bestäm Q’.
Bestäm linjen mellan P och Q’.
Bestäm var linjen skär planet. Det är då den punkt där ljuset kommer reflekteras på sin väg från P till Q.
Så med andra ord är det som jag antog i början (att reflektion och spegling inte syftar på samma sak). Nu när jag har denna bild av uppgiften tror jag att jag bör kunna lösa uppgiften. Jag återkommer snart med en lösning!
Tack för hjälpen :)
Här kommer min lösning (som nu tillsist gav mig rätt svar):
Tack för hjälpen allihopa!
PATENTERAMERAs bild föreställer en reflektion eller en spegling i en yta, det är samma sak. Vad din bild föreställer förstår jag inte riktigt, men jag skulle verkligen vilja begripa det. Är O i din bild origo?
Smaragdalena skrev:PATENTERAMERAs bild föreställer en reflektion eller en spegling i en yta, det är samma sak. Vad din bild föreställer förstår jag inte riktigt, men jag skulle verkligen vilja begripa det. Är O i din bild origo?
O är origo då origo ligger på planet. Jag använder därefter vektorn OQ för att sedan skapa den ortogonala projektionen av OQ på RQ då jag med hjälp av denna kan finna punkten Q'. Egentligen ska det vara en linje mellan S och Q (där den egentliga reflektionen sker) men eftersom jag inte använde den sträckan alls ritade jag den inte.
(Origo är alltså i detta fall en arbiträr punkt för att kunna skapa vektorn RQ. Jag använde just den för att det ger en vektor med samma koordinater som Q (alltså för enkelhetens skull).)
Hur skulle origo kunna vara en arbiträr punkt? Origo har koordinaterna (0,0,0) och ligger i detta fall inte i planet.
Smaragdalena skrev:Hur skulle origo kunna vara en arbiträr punkt? Origo har koordinaterna (0,0,0) och ligger i detta fall inte i planet.
Jag menar arbiträr på sättet man skulle kunna valt vilken punkt som helst i planet. Och jo, origo ligger i planet då (0,0,0) uppfyller 2x-y+z=0 (2*0-0+0=0).
Du har rätt, origo ligger i planet, jag hade flyttat på siffran 2 i huvudet.
