Reellvärda funktioner VS vektorvärda funktioner rent geometriskt

daykneeyell skrev :

Hej!

1. Vad är skillnaden mellan reellvärda funktioner och vektorvärda funktioner rent geometriskt? 

Det känns som att det inte är någon skillnad alls. Man skulle väl kunna göra en reellvärd funktion identisk med en vektorvärd funktion i geometri?

Med en reellvärd funktion menar vi en uppsättning regler som talar om hur en punkt $(x_1,x_2...x_n)$ som tillhör någon mängd (M, ofta tre tal som beskriver en punkt i rummet $\mathbf{R}^3$) ordnar ett (skalärt) värde. På matematiska säger vi $\mathbf{f}:M\to \mathbf{R}^1$. Exempel på reellvärda funktioner är temperaturen i en kropp, tätheten hos en vätska, trycket i en gas, potentiella energin hos en kropp i ett gravitationsfält.

Notera att temperaturen inte har en "riktning", vi säger inte att det är -14 grader åt vänster. På samma sätt pratar vi inte om riktningar hos energin.

Detta kan du jämföra med exempel på vektorfält, t.ex. hastigheten hos en strömmande vätska, fältstyrkan (dvs kraften på en tänkt enhetsladdning) kring en laddningsfördelning i rummet, tyngdkraften som verkar på en kropp i ett gravitationsfält.

Notera skillnaden, vi kan inte bara säga att kraften som verkar på en kropp är si och så stor, vi måste också tala om åt vilket håll den pekar. På samma sätt är det med hastigheten hos en strömmande vätska, den har en riktning och en storlek i varje punkt.

2. Hur är det man visualiserar vektorerna i en vektor funktion? 

Skulle en punkt på en vektorvärd kurva motsvaras av en vektor?

Ja, du kan tänka dig att det till varje punkt ordnas en vektor. Om den vektorvärda funktionen varierar mycket blir bilden lätt otydlig eller mindre noggrann. Ett vanligare sätt att representera vektorfält är därför fäljtlinjer. För reellvärda funktioner är det vanligt att man studerar (snitt av) nivåytor (f=konstant).

3. Vad händer när man parametriserar en reellvärd funktion?

Överförs den reellvärda funktionen till vektorvärd? 

Jag är lite osäker på hur du menar. Om vi låter den reellvärda funktionen $T(x,y,z)$ vara temperaturen i punkten $(x,y,z)$ i vårt vardagsrum och har definierat en kurva C i samma rum med en parameterframställning  $C:\mathbf{r}=\mathbf{F}(u),\quad u\in[a,b](\mathbf{R}^1)$ så är $T(\mathbf{F}(u))$ temperaturen i varje punkt utmed kurvan C (vi använder u som parameter).

Det är alltså vanligtvis "indata" till en funktion man parametriserar. T.ex. en yta eller en kurva.

Tack för svaren.

Låt

 $F(x,y) =x^2+y^2$

En parametrisering av denna skulle väl kunna se ut som sådan:

$F\left(t\right) = ( x, y, x^2+y^2 )$

där x och y beror av parametern t.

Har jag inte nu överfört en reellvärd funktion till en vektorvärd funktion? 

Om ovanstående nu gäller, varför skiljer man på reella och vektorvärda funktioner?

Jag vill dessutom kommentera ditt svar till fråga 1 (vilket jag förstår och håller med dig om):

Min bok skriver, enligt mig en aning enfaldigt:

"Ett sätt att tolka en vektorvärd funktion r(t) är som en lägesfunktion för ett föremål i rörelse. Variabeln t svarar då mot tiden, och derivatan r'(t) kan vi tolka som föremålets hastighet."

Varför skulle läget överhuvudtaget då behöva beskrivas med en vektor? Skulle inte detta räcka med en reellvärd funktion? 

Ytterligare:

En partikel rör sig i en bana enligt

$r\left(t\right) = (\cos t, \sin t)$

Varför skulle jag inte bara kunna skriva om denna som

$r\left(t\right) = \cos t + \sin t$ ?

Eller har jag måhända missuppfattat kalaset?

Nej, om du har en reellvärd funktion F(x,y) från $R^2$ till $R^1$ t.ex. $F(x,y)=x^2+y^2$ Så kan den inte plötsligt ge dig vektorer vad du än försöker göra med den.

Förövrigt måste den parameterframställning som ska vara argument till F ge dig en vektor av två tal, ett x-värde och ett y-värde.

Ditt förslag på F(t) lämnar en vektor av tre tal.

Jag misstänker att du blandar ihop funktionen med parameterframställningen. Det är förmodligen bättre att alltid kalla funktionen F(x,y) eller F(x,y,z) och parameterframställningen r(t) eller r(u,v), där r alltså ska ge dig en vektor av två eller tre tal.

Låt oss studera den konkreta parameterframställningen $\mathbf{r}(t)=(\cos(t), \sin(t)),\quad t\in[0,\pi]$, dvs en kurva utmed den övre halvan av enhetscirkeln

Din F blir nu

$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$

dvs F är alltid 1 på vår kurva, vilket inte är helt oväntat eftersom x^2+y^2=r^2=1 på enhetscirkeln.

Guggle skrev :

Nej, om du har en reellvärd funktion F(x,y) från $R^2$ till $R^1$ t.ex. $F(x,y)=x^2+y^2$ Så kan den inte plötsligt ge dig vektorer vad du än försöker göra med den.

Förövrigt måste den parameterframställning som ska vara argument till F ge dig en vektor av två tal, ett x-värde och ett y-värde.

Ditt förslag på F(t) lämnar en vektor av tre tal.

Jag misstänker att du blandar ihop funktionen med parameterframställningen. Det är förmodligen bättre att alltid kalla funktionen F(x,y) eller F(x,y,z) och parameterframställningen r(t) eller r(u,v), där r alltså ska ge dig en vektor av två eller tre tal.

Låt oss studera den konkreta parameterframställningen $\mathbf{r}(t)=(\cos(t), \sin(t)),\quad t\in[0,\pi]$, dvs en kurva utmed den övre halvan av enhetscirkeln

Din F blir nu

$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$

dvs F är alltid 1 på vår kurva, vilket inte är helt oväntat eftersom x^2+y^2=r^2=1 på enhetscirkeln.

Denna parameterframställning (vektorvärd) är alltså identisk med det nya F (reellvärd)?

daykneeyell skrev :Ytterligare:

En partikel rör sig i en bana enligt

$r\left(t\right) = (\cos t, \sin t)$

Varför skulle jag inte bara kunna skriva om denna som

$r\left(t\right) = \cos t + \sin t$ ?

Eller har jag måhända missuppfattat kalaset?

Låt säga att vi tittar på partikeln vid tiden $t=\pi/3$.

Ditt första uttryck ger nu $\mathbf{r}(t)=(1/2, \sqrt{3} /2)$ dvs en vektor som skulle kunna vara partikelns koordinater.

Ditt andra uttryck ger $r(t)=1/2+\sqrt{3}/2\approx 1.37$, dvs ett tal. 1.37 Detta tal kan vi inte plugga in i en formel som kräver en vektor av två tal t.ex. en x-koordinat och en y-koordinat F(x,y).

Din första tanke när du ser en funktion bör vara "Vad ger den här filuren ut egentligen, är det ett tal eller en vektor Och vad ska man mata den med?

daykneeyell skrev :

Denna parameterframställning (vektorvärd) är alltså identisk med det nya F (reellvärd)?

Parameterframställningen för kurvan ska vara vektorvärd, för varje t ger den en vektor med ett koordinatpar $(\cos(t), \sin(t))$.

Det innebär att parameterframställningen, $\mathbf{r}(t)$ är en kontinuerlig funktion från $\mathbf{R}^1$ till $\mathbf{R}^2$, med definitionsområdet lika med det slutna begränsade intervallet $[0,\pi]$ i $\mathbf{R}^1$. Värdeförrådet för $\mathbf{r}$ blir då en sammanhängande, begränsad punktmängd C i $\mathbf{R}^2$. Det är detta som utgör vår kurva.

Om $F(x,y)$ är reellvärd så måste också $F(\mathbf{r}(t))$ vara det.

Syftet med en parameterframställning är att underlätta beräkningarna, t.ex. vid kurv- eller ytintegraler. Det hjälper oss att välja ut den punktmängd för vilken en funktion ska utvärderas och /eller integreras.