Reella tal, olikheter

Vilka av följande påståenden gäller för alla reella tal x?
a) $x \geq 1 o c h x < 6 \Rightarrow 1 \leq x \leq 6$
b) $x \geq 1 e l l e r x < 6 \Rightarrow 1 \leq x \leq 6$
c) $x > 1 e l l e r x \geq 2 \Rightarrow x \geq 2$

Jag började med att analysera a).

Jag börjar först med att analysera båda intervallen som är givna. Jag tolkar dessa två värden för x som två olika intervall på den Reella talaxeln. Jag har nedanför angett dessa intervall som delmängder av mängden $ℝ$ .

I uppgiften skriver man Intervall A "och" B. Jag antar då att man menar snittet för dessa två mängder. Därefter ska man kontrollera om det stämmer att snittet mellan A och B kan medföra det slutgilltiga intervallet. Har jag tänkt korrekt då? Är detta hur man löser denna uppgift?

Nu beskriver jag dessa två mängder
$A = {x x \in ℝ, x \geq 1}$ och sedan $B = {x x \in ℝ, x < 6}$
$A \cap B \Rightarrow 1 \leq x \leq 6$

Jag antar nu att påståendet i a. är fel men det är ju rätt enligt facit. Så hur tänker jag fel ?

EDIT: Jag tror att jag fattar vart jag tänker fel, jag har antagit att A snitt B ska vara lika med $1 \leq x \leq 6$ men så är inte fallet. Man kanske bara vill veta om det finns något x som samtidigt kan vara större eller lika med 1 och samtidigt mindre än 6. I såna fall så stämmer påstående a.

EDIT: Är du säker på att det inte skall stå $1\leq x\leq 6$ ? Som du skrivit det finns inga tal $x$ som uppfyller olikheten. Om det är felskrivet stämmer nedanstående.

I uppgift a) skall du ju jämföra intervallet $[1,6)$ med $[1,6]$ (är du bekant med denna notation?)

Frågan är om ett tal i $[1,6)$ nödvändigtvis även ingår $[1,6]$ . Nyckeln är att inse att $[1,6)$ är en delmängd av $[1,6]$ , och därför att alla tal som ligger i $[1,6)$ även ligger i $[1,6]$ . Därför stämmer implikationen.

Den stämmer dock inte åt andra hållet, d.v.s. det gäller inte nödvändigtvis att $1\leq x\leq6\Rightarrow x\geq1\ \text{och}\ x<6$ . Detta eftersom $[1,6]$ inte är en delmängd till $[1,6)$ . Detta kan man se eftersom påståendet är falskt för $x=6$ .

AlvinB skrev:
I uppgift a) skall du ju jämföra intervallet $[1,6)$ med $[1,6]$ (är du bekant med denna notation?)
Frågan är om ett tal i $[1,6)$ nödvändigtvis även ingår $[1,6]$ . Nyckeln är att inse att $[1,6)$ är en delmängd av $[1,6]$ , och därför att alla tal som ligger i $[1,6)$ även ligger i $[1,6]$ . Därför stämmer implikationen.
Den stämmer dock inte åt andra hållet, d.v.s. det gäller inte nödvändigtvis att $1\leq x\leq6\Rightarrow x\geq1\ \text{och}\ x<6$ . Detta eftersom $[1,6]$ inte är en delmängd till $[1,6)$ . Detta kan man se eftersom påståendet är falskt för $x=6$ .

Måste förstå vad du menar först innan jag läser igenom allt.

Jag förstår inte varför du sätter ett ')' menar du: $[1, 6 [$ Har aldrig sett att man skriver ')' förut men jag vet att man kan skriva '['. Betyder det samma sak som jag skrev nu?

Ja, $[1,6[$ och $[1,6)$ är samma sak.

AlvinB skrev:
Ja, $[1,6[$ och $[1,6)$ är samma sak.

Okej bra tack.

Jag har nu läste igenom och det klarnar mer känner jag. Jag tror att jag förstår! Mycket bra förklaring.

Men nu i b uppgiften då ? Här skriver man inte längre "och" utan här skriver man "eller".

[1, $\infty$ [ eller ] $- \infty$ ,6[ $\Rightarrow 1 \leq x \leq 6$ Vad menar man här? Båda är ju delmängder av [1,6] Men det finns inget x som samtidigt kan vara mindre än x och större/lika med 1. Är det så man menar?

AlvinB skrev:
Ja, $[1,6[$ och $[1,6)$ är samma sak.

Har uppdaterat originalinlägget nu.. Olikhetstecknena var åt fel håll.. (så tokigt av mig)

Nu när det står eller är det ju en union av intervallen istället för ett snitt. I a)-uppgiften fick vi ju $[1,\infty)\cap(-\infty,6)=[1,6)$ , men nu skall vi istället ta fram unionen $[1,\infty)\cup(-\infty,6)$ .

Vad får du att denna union blir? Är denna union en delmängd av $[1,6]$ ?

AlvinB skrev:
Nu när det står eller är det ju en union av intervallen istället för ett snitt. I a)-uppgiften fick vi ju $[1,\infty)\cap(-\infty,6)=[1,6)$ , men nu skall vi istället ta fram unionen $[1,\infty)\cup(-\infty,6)$ .
Vad får du att denna union blir? Är denna union en delmängd av $[1,6]$ ?

[1, $\infty$ [ $\cup$ $] - \infty$ ,6[ = ] $- \infty, \infty$ [= $ℝ$ Alla Reella tal. Ahaa.. Det är INTE en delmängd av [1,6] eftersom det innehåller så många fler tal. Jag kanske ska använda ditt sätt att skriva istället '(' men varför är det annorlunda?

Just det, unionen blir alla reella tal, som inte är en delmängd av $[1,6]$ !

Vilken av de två notationerna man använder spelar ingen roll, bara man är konsekvent. Jag väljer den med den runda parentesen bara för att jag tycker den är snyggare och det är svårare att skriva fel på tangentbordet, men det är ju bara smaksaker.

AlvinB skrev:
Just det, unionen blir alla reella tal, som inte är en delmängd av $[1,6]$ !
Vilken av de två notationerna man använder spelar ingen roll, bara man är konsekvent. Jag väljer den med den runda parentesen bara för att jag tycker den är snyggare och det är svårare att skriva fel på tangentbordet, men det är ju bara smaksaker.

Okej jag förstår. Men det är alltså HELT korrekt att man ska tänka "är en delmängd" när man ser implikationspilen i detta fall? Jag tänker i huvudet "Elementen finns där till vänster men alla finns inte där till höger och därför fattas det saker så implikationspilen är inaccurate". Något sånt.

Tack så mycket, mycket bra förklaringar! Du skulle vara en bra lärare.

Svara

Visa senaste svar