Reella tal och lösningar

Heltal är reella.

Från matte2 : komplexa-tal

Heltal är också reella tal. Alla tal som går att pricka ut på en tallinje är reella tal. Då ingår positiva tal, negativa tal, heltal, bråktal som 3/4, pi, osv. Kort sagt, alla "vanliga" tal, eller det man brukar mena med just "tal". Det som *inte* ingår är komplexa / imaginära tal som $\sqrt{-1}$ (talet i).

Heltalen är en delmängd av de reella talen. Alltså är varje heltal också ett reellt tal.

Vad är skillnaden då, det finns ju två namn reella tal och heltal, så något speciellt är det ju med reella tal. Hur vet jag att något är ett "reellt tal", vad kännetecknar ett reellt tal, det är det jag inte förstår.

Här är en bild över talmängderna. Innerst har du naturliga tal (N), dvs positiva heltal och noll. Lägger vi till negativa heltal har vi alla heltal, Z. Lägger vi till bråk som inte går jämnt upp, som 4/3, har vi rationella tal, Q. Men tal som pi eller $\sqrt{2}$ kan inte skrivas som ett bråk, de kallas irrationella tal. Lägger vi till de irrationella talen har vi R, alla reella tal. De tal som inte är reella har en imaginärdel, och lägger vi till dessa icke-reella tal har vi de komplexa talen, C.

Ett tal kan alltså tillhöra flera kategorier samtidigt, för varje ring innehåller också alla ringar inuti. Så talet 1 t.ex. är ett reellt tal, men det är också ett rationellt tal, ett heltal och ett naturligt tal (och även ett komplext tal). 4/3 däremot tillhör inte gruppen heltal (och därför inte heller naturliga tal), men alla de andra.

Så reella tal är alla tal som finns förutom de med en imaginärdel?

fridas skrev:

Så reella tal är alla tal som finns förutom de med en imaginärdel?

Yes!

Ah tack! En till fråga, jag vet att det vissa andragradsekvationer inte har reella lösningar. Innebär det då att det är lösningar med tal med imaginärdel? 

Precis så. PQ-formeln ger att lösningarna till en andragradare ges av

$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Om det där talet man tar roten ur är ett negativt tal, då får lösningen en imaginärdel. Ta t.ex. p=2, q = 2:

$x = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - 2} \\ x = -1 \pm \sqrt{1 - 2} \\ x = -1 \pm i$

Ekvationen ($x^2+2x+2=0$) saknar alltså reella lösningar, men den har de två icke-reella lösningarna $-1+i$ och $-1-i$.

Tack, nu förstår jag!!