Reella tal och heltalsdelar

Det är en golvfunktion. Tror det enklaste är att lösa ekvationen som vanligt och sen experimentera vad som händer när decimalerna klipps bort.

Hej N. N. ,

Jag skriver $[x]$ för att beteckna heltalsdelen av $x$.

• Talet $[2x]$ är ett heltal $n$ och $[5x]$ är ett heltal $m$ och $[101x]$ är ett heltal $p.$
• Ekvationen säger att $2n+m+p=2020.$

Du vet att $[2x]=n$ är samma sak som att $n \leq 2x < n+1$ så att $2[2x]=2n$ är samma sak som att

    $2n \leq 4x < 2n+2.$

På samma sätt vet du att $m \leq 5x < m+1$ och att $p \leq 101x < p+1$. Då följer det att 

    $2n+m+p \leq 4x+5x+101x < 2n+m+p+4 \iff 2n+m+p\leq 110x < 2n+m+p+4.$

Men $2n+m+p=2020$ varför

     $2020 \leq 110x < 2024 \iff \frac{202}{11} \leq x < \frac{2024}{110}.$

Varifrån kommer uppgiften? Den ser inte ut som en HP-fråga brukar göra /moderator

Micimacko skrev:

Det är en golvfunktion. Tror det enklaste är att lösa ekvationen som vanligt och sen experimentera vad som händer när decimalerna klipps bort.

Hur gör jag det?

Albiki skrev:

• Ekvationen säger att 2n+m+p=2020.

Vilken ekvation?

Smaragdalena skrev:

Varifrån kommer uppgiften? Den ser inte ut som en HP-fråga brukar göra /moderator

Tack att du påminde mig! Jag lägger nästan endast upp frågor från HP, så jag gjorde det per automatik, så slarvigt av mig... Detta är en fråga från 2019/2020 HMT (Högstadiets Matematiktävling), kan jag ändra det på något sätt??

nikoniko skrev:

Albiki skrev:

• Ekvationen säger att 2n+m+p=2020.

Vilken ekvation?

Ekvationen som du vill lösa.

Jag tycker att heltalsdelen av -2,72 är -2. 

I den här uppgiften definierar de heltalsdelen som det största heltal som är mindre än (eller lika med) själva talet. En annan (lika rimlig, tycker jag) definition (som Laguna tydligen föredrar) är att heltalsdelen skall vara närmare 0.

Laguna skrev:

Jag tycker att heltalsdelen av -2,72 är -2. 

Det tyckte min lärare och jag med, men när vi sökte upp så skulle det alltid gå åt det negativa hållet, alltså -2,72 blir -3....

Är det något jag har missat i vad du skrev??

Albiki skrev:

nikoniko skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

• Ekvationen säger att 2n+m+p=2020.

Vilken ekvation?

Ekvationen som du vill lösa.

Vilken är det som jag vill lösa?

nikoniko skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

nikoniko skrev:

Albiki skrev:

• Ekvationen säger att 2n+m+p=2020.

Vilken ekvation?

Ekvationen som du vill lösa.

Vilken är det som jag vill lösa?

Den som står i din fråga, skulle jag tro.

Laguna skrev:

nikoniko skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

nikoniko skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

• Ekvationen säger att 2n+m+p=2020.

Vilken ekvation?

Ekvationen som du vill lösa.

Vilken är det som jag vill lösa?

Den som står i din fråga, skulle jag tro.

$2\left[2x\right]+\left[5x\right]+\left[101x\right]=2020$

↑Den där?

nikoniko skrev:

Laguna skrev:

Visa föregående citat

nikoniko skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

nikoniko skrev:

Albiki skrev:

• Ekvationen säger att 2n+m+p=2020.

Vilken ekvation?

Ekvationen som du vill lösa.

Vilken är det som jag vill lösa?

Den som står i din fråga, skulle jag tro.

$2\left[2x\right]+\left[5x\right]+\left[101x\right]=2020$

↑Den där?

Är jag ute och cyklar?

Albiki skrev:

Hej N. N. ,

Jag skriver $[x]$ för att beteckna heltalsdelen av $x$.

• Talet $[2x]$ är ett heltal $n$ och $[5x]$ är ett heltal $m$ och $[101x]$ är ett heltal $p.$
• Ekvationen säger att $2n+m+p=2020.$

Du vet att $[2x]=n$ är samma sak som att $n \leq 2x < n+1$ så att $2[2x]=2n$ är samma sak som att

    $2n \leq 4x < 2n+2.$

På samma sätt vet du att $m \leq 5x < m+1$ och att $p \leq 101x < p+1$. Då följer det att 

    $2n+m+p \leq 4x+5x+101x < 2n+m+p+4 \iff 2n+m+p\leq 110x < 2n+m+p+4.$

Men $2n+m+p=2020$ varför

     $2020 \leq 110x < 2024 \iff \frac{202}{11} \leq x < \frac{2024}{110}.$

Jag tror jag förstår nu, så är alla svar till ekvationen korrekta om x är större, eller lika stort som 202/11, men mundre än 2024/110?

Albikis lösning kan du förmodligen lita på. Han själv är inte på pluggakuten längre.

Jag har inte kollat.

okej, tack