reell lösning

Jag har lite svårt med att hitta den reella lösningen till differentialekvationen:

$\{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 4 x - 5 y \\ \frac{d x}{d t} = 5 x - 4 y \end{cases}$

jag har fått den generella lösningen till $X = C_{1} [\begin{matrix} 4 + 3 i \\ 5 \end{matrix}] e^{3 i t} + C_{2} [\begin{matrix} 4 - 3 i \\ 5 \end{matrix}] e^{- 3 i t}$

jag har dock svårt med att hitta den reella lösningen som uppfyller x(0)=0, y(0)=1

$V e^{t} = [\begin{matrix} 4 + 3 i \\ 5 \end{matrix}] e^{3 t} = [\begin{matrix} 4 + 3 i \\ 5 \end{matrix}] (\cos 3 t + i \sin 3 t)$ = $[\begin{matrix} 4 \cos 3 t - 3 \sin 3 t + i (4 \sin 3 t + 3 \cos 3 t) \\ 5 \cos 3 t + i 5 \sin 3 t \end{matrix}]$

I facit har dom satt $X = A R e (v e^{t}) + B i m (v e^{i t})$ och sedan $A = [\begin{matrix} 4 \cos 3 t - 3 \sin t \\ 5 \cos 3 t \end{matrix}] + B [\begin{matrix} 4 \sin 3 t + 3 \cos 3 t \\ 5 \sin t \end{matrix}]$

jag förstår inte riktigt hur dom får fram $[\begin{matrix} 4 \cos 3 t - 3 \sin 3 t + i (4 \sin 3 t + 3 \cos 3 t) \\ 5 \cos 3 t + i 5 \sin 3 t \end{matrix}]$ borde man inte få 4cos3t+4isin3t+ +4isin3t+3i*isin3t

Systemet av differentialekvationer skrivs

$X'(t) = AX(t)$

där kolonnvektorn $X(t) = (x(t), y(t))$ och den konstanta matrisen $A = (4, -5 ; 5, -4)$ .

Lösningarna uttrycks med matrisexponentialen $e^{tA}$ (om den existerar) som

$X(t) = e^{tA} X(0).$

För att bestämma $e^{tA}$ kan du spektralframställa matrisen $A$ ; notera att matrisen är icke-symmetrisk så dess egenvärden kan vara komplexa tal.

Svara