Reell analys, supremum

supremum är inte majoranten för definitionsmängden utan för värdemängden.

Supremum är i detta fall samma sak som maxvärdet till funktionen på intervallet. Du har en kontinuerlig funktion på kompakt intervall, så det finns garanterat ett max.

Då fås $\text{max}\{(1-x)x^r\ |\ 0\leq x\leq 1 \wedge r\geq1\}=\frac{1}{4}$.

Är dock inte med på hur man kommer fram till

$\displaystyle\underset{x\in[0,1]}{\text{sup}}\left(1-x\right)x^r=\dfrac{r^r}{(r+1)^{r+1}}.$

Nu har du maximerat med avseende på x och r, du ska maximera med avseende på x för fixt r.

$\underset{x\in\Omega}{\text{sup}}\ \underbrace{\left(1-x\right)x^r}_{f(x)}\Longrightarrow \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} =r\left(1-x\right)x^{r-1}-x^r=x^r\left[r\left(1-x\right)x^{-1}-1\right]=0\Longleftrightarrow x=\displaystyle\frac{r}{r+1}$.

Med ett teckentest är $\frac{r}{r+1}$ ett maximum på $\Omega=[0,1]$, varför

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underset{x\in\Omega}{\text{sup}}\left(1-x\right)x^r= f\left(\frac{r}{r+1}\right)=\frac{r^r}{(r+1)^{r+1}}$.