5 svar
169 visningar
econo 64 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2021 11:38 Redigerad: 25 mar 2021 12:13

Reell analys, supremum

Hej, jag vill beräkna

supx[0,1](1-x)xr, r1.\underset{x\in[0,1]}{\text{sup}}\displaystyle(1-x)x^r, \ r\geq1.

Jag vet att supremum är minsta majoranten, dvs mängdens minsta övre begränsning. I detta fall vill jag ersätta xx med minsta övre gränsen som är 1 men i facit har dem kommit fram till

supx[0,1]1-xxr=rr(r+1)r+1\displaystyle\underset{x\in[0,1]}{\text{sup}}\left(1-x\right)x^r=\dfrac{r^r}{(r+1)^{r+1}}.

Hur skall man tänka?

Smutsmunnen 1050
Postad: 25 mar 2021 11:48

supremum är inte majoranten för definitionsmängden utan för värdemängden.

PATENTERAMERA Online 5983
Postad: 25 mar 2021 11:52

Supremum är i detta fall samma sak som maxvärdet till funktionen på intervallet. Du har en kontinuerlig funktion på kompakt intervall, så det finns garanterat ett max.

econo 64 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2021 12:12 Redigerad: 25 mar 2021 12:13

Då fås max{(1-x)xr | 0x1r1}=14\text{max}\{(1-x)x^r\ |\ 0\leq x\leq 1 \wedge r\geq1\}=\frac{1}{4}.

Är dock inte med på hur man kommer fram till

supx[0,1]1-xxr=rr(r+1)r+1.\displaystyle\underset{x\in[0,1]}{\text{sup}}\left(1-x\right)x^r=\dfrac{r^r}{(r+1)^{r+1}}.

Smutsmunnen 1050
Postad: 25 mar 2021 13:17

Nu har du maximerat med avseende på x och r, du ska maximera med avseende på x för fixt r.

econo 64 – Fd. Medlem
Postad: 27 mar 2021 00:00 Redigerad: 27 mar 2021 00:04

supxΩ 1-xxrf(x)fx=r1-xxr-1-xr=xrr1-xx-1-1=0x=rr+1\underset{x\in\Omega}{\text{sup}}\ \underbrace{\left(1-x\right)x^r}_{f(x)}\Longrightarrow \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} =r\left(1-x\right)x^{r-1}-x^r=x^r\left[r\left(1-x\right)x^{-1}-1\right]=0\Longleftrightarrow x=\displaystyle\frac{r}{r+1}.

Med ett teckentest är rr+1\frac{r}{r+1} ett maximum på Ω=[0,1]\Omega=[0,1], varför

                                                                 supxΩ1-xxr=frr+1=rr(r+1)r+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underset{x\in\Omega}{\text{sup}}\left(1-x\right)x^r= f\left(\frac{r}{r+1}\right)=\frac{r^r}{(r+1)^{r+1}}.

Svara
Close