Redovisningsuppgift, ma 5

Tid upp, tid ner

Uppgift:

Om du kastar en boll rakt upp i luften, så tar det en viss tid för bollen att nå sin högsta hölj och en viss tid för bollen att sedan återvända till marken. Men vilket tar längst tid, färden upp eller fallet ned? Eller tar färden upp lika lång tid som fallet ned?

1) Utgå från Newtons andra lag. Bortse från luftmotståndet och ställ upp den differentialekvation som beskriver rörelsen hos en boll som du kastar rakt upp i luften. Lös differentialekvationen och visa att det tar lika lång tid för bollen att nå sin högsta punkt, som det tar för bollen att fall tillbaka till utgångspunkten.

2) Antag i stället att luftmotståndet $F_l$  är en kraft som är proportionell mot bollens hastighet, dvs $F_l=-kv$ . Visa med hjälp av Newtons andra lag att bollens rörelse nu kan beskrivas med differentialekvationen $h´´\left(t\right)+\frac{k}{m}\times h´\left(t\right)-g$

där h(t) är bollens höjd över marken vid tiden t s.

3) Formulera själv lämpliga begynnelsevillkor och värden på de ingående konstanterna. Lös därefter differentialekvationen och beräkna den tid det tar för bollen att nå sin högsta punkt respektive den tid det tar för bollen att från den högsta punkten åter nå sin utgångspunkt.

4)Värdera din lösning noga. Hur påverkas resultatet av bollens utgångshastighet och värdena på konstanterna k och m?

--------------------------------------------------------------------------------------

Jag har löst uppgift 1, 2 och 3. 

PÅ uppgift ett ställde jag upp en diff-ekv och bevisade att tiden upp och tiden ner var samma uttryck. PÅ uppgift två skrev jag bara om ekv och förenklade. 

Uppgift tre var lite svårare, men det är ju en inhomogen ekv, $h´´\left(t\right)+\frac{k}{m}\times h´\left(t\right)=-g$, och därför skrev jag om den till $v\left(t\right)=C{e}^{\frac{k}{m}t}-\frac{gm}{k}$.