Redovisningsuppgift: Berg- och dalbanan
En sektion av en berg- och dalbana består av tre parabelformade delar: AB, BC och CD
Punkten A har höjden 30 m och banan lutar där 10°.
Punkten B har koordinaterna (8,10).
Punkten C har koordinaterna (11,10).
Punkten D har höjden 35 och lutningen där är 0°.
Bestäm den sammanlagda längden av de kurvbågarna.
Detta är frågeställningen och det jag gjort hittills är att räkna ut längden på AB och BC.
AB räknade jag ut såhär:
Punkt A ger oss kurvans c-värde vilket är 30
y(0) = 30 ger a∙0^2 + b∙0 + c = 30 à c= 30
Informationen om punkt B ger oss denna ekvation:
y(8) = 10 ger 8^2∙a + 8∙b +30 = 10
64a + 8b + 20 = 0
Informationen om lutningen ger:
y’(0) = tan10° à 2a∙0 + b = tan10° (y’ = 2ax + b)
b = tan10°
Därefter kan a-värdet lösas ut ur ekvationen från det tidigare steget
64a + 8b + 20 = 0 à a = -8b – 20 / 64
a = -8 ∙ tan10° - 20 / 64
Utifrån dessa konstanter kan därefter ekvationen till AB’s derivata sammanställas
y’ = 2ax + b = (-8 ∙ tan10° - 20 / 64)x + tan10°
Slutligen kan längden för delkurvan AB beräknas
L ₁= ₀⁸∫ √(1+((-8 ∙ tan10° - 20 / 64)x + tan10°)^2) = 13
BC räknade jag ut såhär:
På Bild 1 kan man se att kurvan BC är symmetrisk kring en mittpunkt. Denna mittpunkt är densamma som ekvationens b-värde samt halva produkten av x-värdena i punkt B och C.
b = (8 + 11) / 2 = 9,5
Kurvan AB och BC har en gemensam punkt, punkt B, vilket innebär att derivatan för båda ekvationer måste vara densamma i denna punkt. Den kan beräknas genom ekvationen för kurvan AB’s derivata.
y’(8) = (-8 ∙ tan10° - 20 / 64) ∙8 + tan10° = -2,5
Nu vet vi alltså att y’(8) = -2,5 och att b = 9,5. Med denna information kan vi lösa ut a-värdet genom att använda derivatans ekvation y’ = 2ax + b och sätta in de värden vi nu har.
y´(8) = -2,5 à 2∙a∙8 + 9,5 = -2,5 à a = -0,75
Nu kan vi sammanställa ekvationen för BC’s derivata
y’ = 2∙-0,75∙x + 9,5
y’ = -1,5x + 9,
Slutligen kan längden för delkurvan BC beräknas.
L₂ = ₈″∫ √(1+ (-1,5x + 9,5)^2) = 24
Nu ska jag räkna ut längden på CD och jag har absolut ingen aning vad jag ska göra eftersom jag inte vet x-värdet i punkt D. Det jag förstår och vet om kurvan CD förutom den information som gavs i frågeställningen är att derivatan i punkt C måste vara densamma som i punkt B fast med ombytt tecken eftersom kurvan BC är symmetrisk mot sin mittpunkt. Alltså är derivatan i punkt C 2,5.
Utöver detta är jag helt borta och skulle därför vara jättetacksam om någon kunde hjälpa mig!:)
Vi kan skriva CD-kurvan som y = 35 - a(b-x)2, där a och b är konstanter.
Med det du vet om CD så får du två ekvationer, som man ganska lätt får ut a och b ur.
Tack så mycket för svaret!
Innebär det att kurvans c-värde är 35? Går det isf att skriva om så att y = ax^2 + bx + 35?
Eller på vilket sätt kan jag motivera att ekvationen för CD är y = 35 -a(b-x)^2.
dittnamn skrev:Tack så mycket för svaret!
Innebär det att kurvans c-värde är 35? Går det isf att skriva om så att y = ax^2 + bx + 35?
Nej, den är ju inte 35 i x = 0, utan i någon okänd punkt. Om du vill kan du skriva y = ax^2 + bx + c och sedan använda att y' = 0 när y = 35, men det kändes krångligare.
Bokmärke.
Ja precis, det var så jag försökte och det blev väldigt krångligt. Förstår dock inte riktigt varför man kan skriva det på det sättet du säger. Vad är det som gör att man kan sätta 35 minus a(b-x)^2.
Tänkte även att jag kanske gjort helt fel i min uträkning av AB och BC då jag använder mig av formeln y=ax^2 + bx +c istället för y= a(b-x)^2 + c. Måste jag använda mig av den andra formeln för att det ska bli rätt, åtminstone till BC kanske? Tyckte att det var lustigt att BC blir betydligt längre än AB då det är tvärtom på bilden.
Jag har inte kollat dina uträkningar, men själva resonemanget ser rätt ut.
Alla parabler med maximum i (0,0) kan skrivas -ax^2 för något positivt a. Om de har maximum i (0,35) så får vi lägga till 35: -ax^2+35. Och slutligen om maximat inte är i x = 0 utan i någon annan punkt x = b, så blir det -a(x-b)^2+35.
Okej! nu tror jag att jag är med.
Tack så mycket för din hjälp:)
