Rättvisa mynt

När man skriver att utfalen ger "likafördelade binaltal" mellan 0 och 1, menar man då att s1=0 eller 1,s2=0 eller 1s_1=0\text{ eller } 1, s_2=0\text{ eller } 1,  osv?

Ja, som de skriver så är $x=0,s_1s_2s_3s_4\dots$ där varje $s_i\in\{0,1\}$.

Behövs detta för att "komma runt" det jag hade som problem eller tänker jag bara fel?

Jag vet inte om jag förstår din tanke riktigt. Men jag tror man kan tänka så här.

Om vi kastar myntet och skriver ett tal som facit gör: $x=0,s_1s_2s_3s_4\dots$ så kommer $x$ vara likformigt fördelat på intervallet $(0,1)$. (Varför?)

Sannolikheten att $x$ är mindre än något visst tal $\alpha$ är därför precis $\alpha$.

Vi avslutar kasten vid det första $s_i$ som inte stämmer överens med siffran $b_i$ i talet $\alpha=0,b_1b_2b_3\dots$, som vi uttryckt som ett decimaltal i bas 2. Om $s_i<b_i$, så är $x< \alpha$, annars är $x> \alpha$.

Gustor skrev:

När man skriver att utfalen ger "likafördelade binaltal" mellan 0 och 1, menar man då att s1=0 eller 1,s2=0 eller 1s_1=0\text{ eller } 1, s_2=0\text{ eller } 1,  osv?

Ja, som de skriver så är $x=0,s_1s_2s_3s_4\dots$ där varje $s_i\in\{0,1\}$.

Behövs detta för att "komma runt" det jag hade som problem eller tänker jag bara fel?

Jag vet inte om jag förstår din tanke riktigt. Men jag tror man kan tänka så här.

Om vi kastar myntet och skriver ett tal som facit gör: $x=0,s_1s_2s_3s_4\dots$ så kommer $x$ vara likformigt fördelat på intervallet $(0,1)$. (Varför?)

Sannolikheten att $x$ är mindre än något visst tal $\alpha$ är därför precis $\alpha$.

Vi avslutar kasten vid det första $s_i$ som inte stämmer överens med siffran $b_i$ i talet $\alpha=0,b_1b_2b_3\dots$, som vi uttryckt som ett decimaltal i bas 2. Om $s_i<b_i$, så är $x< \alpha$, annars är $x> \alpha$.

Tack, förstår vad facit tänker nu. Lite osäker på varför det är likformigt fördelat, har du något tips på hur jag tan tänka? Och det finns ingen alternativ lösning som inte bygger på att man skapar ett långt decimaltal utan att man istället t.ex. betraktar varje slantsingling separat och adderar/multiplicerar ihop de olika singlingarna? Jag tyckte mest att facits lösning kändes väldigt specifik, snanare än att det bygger på någon av teknikerna som gåtts igenom i de föreläsningar som uppgiften hör till (som främst fokuserade på addition- och multiplikationsprinciperna).

Facits lösning är inte väldigt out of the blue.

Man kan tänka först att vi tittar på ett tal av typen n/2^k. Då är det lätt att tänka att vi gör k slantsinglingar och att varje singling halverar sträckan från 0 till 1. 

Så om vi vill få fram sannolikhet 3/8 så kan man tänka något i stil med: antingen två kronor på rad (sannolikhet 1/4) eller krona, klave, krona (sannolikhet 1/8), totalt 3/8.

Sen är grejen att vilket tal som helst kan approximeras med något tal n/2^k, nämligen om vi bara behåller de k första decimalerna i den binära decimalutvecklingen och från den iden är det inte långt till facits lösning.

Smutsmunnen skrev:

Facits lösning är inte väldigt out of the blue.

Man kan tänka först att vi tittar på ett tal av typen n/2^k. Då är det lätt att tänka att vi gör k slantsinglingar och att varje singling halverar sträckan från 0 till 1. 

Så om vi vill få fram sannolikhet 3/8 så kan man tänka något i stil med: antingen två kronor på rad (sannolikhet 1/4) eller krona, klave, krona (sannolikhet 1/8), totalt 3/8.

Sen är grejen att vilket tal som helst kan approximeras med något tal n/2^k, nämligen om vi bara behåller de k första decimalerna i den binära decimalutvecklingen och från den iden är det inte långt till facits lösning.

 

 

Okej, tack, ja då förstår jag att det inte är en superobskyr lösning, tusen tack! Kopplingen till binär decimalutveckling var det som gjorde det.