Rätta beviset! Indutionsbevis!

Vi ska med induktion bevisa att om vi väljer ut n personer så kommer de väga lika mycket oavsett hur vi väljer ut dessa och oavsett n,n=1,2,3,…

Låt P(n) vara påståendet att om vi väljer n personer i en grupp kommer väga lika mycket oavsett hur vi valt ut dessa.
I en grupp av storlek 1 kommer alla i gruppen väga lika mycket då den ende i gruppen väger lika mycket som sig självt. =>P(1) sann
Antag nu att P(k) är sann för något k∈N
Vi vill nu visa att P(k+1) är sann
Vi antar därför att i varje grupp av storlek k, alla väger lika mycket
Vi behöver visa att i varje grupp av storlek k+1, väger gruppmedlemmarna lika mycket.
Låt G vara en godtycklig grupp av storlek k+1. Vi vill visa att två godtyckligt valda medlemmar av denna grupp , A och B väger lika mycket.
Betrakta nu alla i gruppen utom B, detta är en grupp av storlek k och enligt induktionsantagandet väger de alla i gruppen lika mycket.
Betrakta alla i gruppen utom A, detta är en grupp av storlek k och enligt induktionsantagandet väger de lika mycket
Låt C vara en annan person i grupp G som inte är A eller B
Då A och C tillhörde samma grupp enligt steg 8 så väger de lika mycket.
Då B och C tillhör samma grupp i steg 9 så väger de lika mycket.
Då A och C väger lika mycket och då C och B väger lika mycket följer detta att A och B väger lika mycket.
Vi har nu visat att om vi väljer två godtyckliga personer i grupp G så väger de lika mycket. Alla i grupp G väger därmed lika mycket.
Då G är en godtyckligt vald grupp av storlek k+1 har vi visat att i alla grupper av storlek k+1, väger alla lika mycket.
Vi har därmed visat P(1) och att P(k)=>P(k+1).
Villkoren i induktionsprincipen är därmed uppfyllda och vi har visat P(n) för alla n , dvs att alla i en godtycklig vald grupp väger lika mycket. Något är uppenbarligen fel. I vilket steg gjorde vi ett logiskt felslut som gör att beviset inte stämmer?

det verkar svårt

Har du några egna idéer kring det hela?

Har löst liknande när jag hade också formeln, har inte löst nåt liknande förut

Testa att använda ditt induktionsantagande, och argumentationsprincipen som du använder för att visa att det gäller för $k+1$ , med $k=1$ . Går det?

fattar ingenting

Okej,

Problemet i "beviset" ligger i steg 10. Allt annat är okej.

I steg 10 antar vi att en grupp av storlek $k+1$ innehåller fler personer än $A$ och $B$ . När gäller det? Jo, endast om $k+1>2$ , det vill säga om $k > 1$ .

Om vi kan visa att $P(2)$ är sann, så gäller det att alla gruppstorlekar har medlemmar som väger lika mycket. Problemet är bara att $P(2)$ inte är sann.

För, om $k+1 = 2$ , så kan vi inte hitta ytterligare en person $C$ , förutom $A$ och $B$ .

Så basfallet $P(1)$ är sann. Likaså gäller det att om $P(k)$ är sann, så är även $P(k+1)$ sann om $k>1$ . Vi kan tyvärr (??) inte gå från $P(1)$ till $P(2)$ med denna argumentation, så beviset håller inte.

Svara

Visa senaste svar