Rätt resultat?

Funktionen f(x)= $a x^{2} + b$ där a och b är konstanter.

a) Bestäm f'x) då a=4 och b=3

b) då a=4 och b=3 har ekvationen f(x)=f'(x) två rella lösningar, visa detta.

c) undersök om det finns något samband mellan a och b då ekvationen f(x)=f'(x) har 2 olika reella lösningar.

Så grejen är att f(x) = $a x^{2} + b$ och f'(x)= 2ax

Om både måste vara lika har vi $a x^{2} - 2 a x + b = 0$

Som innebär att $\frac{+ 2 a}{2} \pm \sqrt{a^{2} - b}$

Så jag svarade att $a^{2}$ måste vara större en b. Facit säger a>b. Varför då?

Du har blandat ihop den allmäna lösningsformeln med pq-formeln.

Jag föredrar pq:

f(x) = ax^2 + b

f'(x) = 2ax

f(x) = f'(x) ger då att

ax^2 + b + 2ax

ax^2 - 2ax + b = 0

Antag att a <> 0:

x^2 - 2x + b/a = 0

x = 1 +- rotenur(1 - b/a)

Ak, nu fattar jag. $\sqrt{1 - \frac{b}{a}}$ ger oss b=a så a måste vara större.

Fan, jag trodde att jag var förbi punkten där man är förvirrad av pq formeln...

Tack så mycket Yngve!

Hej!

Om $f(x) = ax^2 + b$ så är ekvationen $f(x) = f'(x)$ samma sak som andragradsekvationen

$ax^2 - 2ax + b = 0.$

En kvadratkomplettering ger följande ekvivalenta ekvation.

$a(x-1)^2 + b - a = 0.$

För att denna ekvation ska ha lösningar måste $a\neq 0.$ För att ekvationen ska ha två olika reella lösningar måste talet $(b-a)$ vara negativt.

Albiki

Tack Albiki! Kvadratkomplettering har jag inte tränat tillräkligt på, känner jag. Jag skulle aldrig ha tänkt på det.

Orkar du kolla vilka steg blir? Är det:

$a x^{2} - 2 a x + a^{2} + b - a = 0 a (x^{2} - 1)^{2} + b - a = 0$

Isf varför, har vi inte en "a" för mycket? Vi har lägt till en $a^{2}$ , och läggt en - a.

Dessutom förstår jag inte varför b-a måste vara negativt överhuvudtaget!

Hej!

Nej, det är inte $a^2$ som ska läggas till och dras ifrån, utan $a.$ Ekvationen som ska kvadratkompletteras är

$a(x^2 -2x) + b = 0.$

Uttrycket inom parentes kan skrivas

$x^2 -2x = (x-1)^2 -1.$

Ekvationen

$a(x-1)^2 + b - a = 0$

är samma sak som ekvationen

$a(x-1)^2 = a - b.$

Om talet $a>0$ så är talet $a(x-1)^2 >0$ (utom då $x=1$ ) och för att ekvationen ska vara möjlig måste det gälla att $a-b >0.$

Albiki

Tack för hjälpen och förkläringar, verkligen! Jag måste kolla ordentligt efter provet imorgon :)

Svara

Visa senaste svar