Rätt ansats, partikulärlösning.
Undrar bara låt oss säga vi har en differentialekvation som har en homogen lösning med hjälp av den karakteristisk ekvationen, samt ett inhomogent HL som är av samma faktor (vet ej om man kan riktigt uttrycka sig så) men låt oss säga att vi får y’’-4y’+4y=e^2x
När jag väl hittar rötterna som blir en dubbelrot e^2x som är lik den inhomogena lösningen, hur väljer man rätt ansats. Finns det något knep? Och isåfall varför?
Det brukar gå bra i de fallen att låta ansatsen vara högerledet multiplicerat med x. Eller kanske multiplicerat med (ax+b).
Det blir ibland multiplicerat ax^2 i HL. Finns det något trick för att veta direkt vilken ansats det blir? Annars blir det en full uträkning möjligtvis som blir helt i onödan.
x2 kanske behövs om den karakteristiska ekvationen har en dubbelrot. Nån exakt regel vet jag inte.
Det finns en förskjutningsregel.
Om du har ett polynom P(D) i deriveringsoperatorn D så gäller det att
P(D)(z(x)ekx) = ekxP(D+k)z(x).
I vårat fall så har vi (D - 2)2y = e2x.
Ansätt y(x) = z(x)e2x.
Enligt förskjutningsregeln får vi e2x(D + 2 - 2)2z(x) = e2x. Vilket implicerar att D2z(x) = 1 så att
z(x) = x2/2 + Ax + B.
y(x) = (x2/2 + Ax + B)e2x.
