Rationellt tal eller ej

rrt04 skrev:

Hej!

Jag har en fråga på min mattebok där de vill att jag ska motivera ifall talet 0.777 777 777... är ett rationellt tal. Jag svarade nej eftersom att man inte kan skriva talet i bråkform för att det är oändligt många decimaler. Men när jag kollade facit stod det att det var ett rationellt tal och jag undrar hur jag ska tänka?

Tänk på följande sätt: 
$\frac{7777777777}{10000000000}=0,7777777777$

Korra skrev:

rrt04 skrev:

Hej!

Jag har en fråga på min mattebok där de vill att jag ska motivera ifall talet 0.777 777 777... är ett rationellt tal. Jag svarade nej eftersom att man inte kan skriva talet i bråkform för att det är oändligt många decimaler. Men när jag kollade facit stod det att det var ett rationellt tal och jag undrar hur jag ska tänka?

Tänk på följande sätt: 
$\frac{7777777777}{10000000000}$

Kan man skriva ett bråktal med en så stor nämnare, ska det inte vara 100?  

Vad blir 1/9 om man skriver det i decimalform?

Laguna skrev:

Vad blir 1/9 om man skriver det i decimalform?

1/9. Så 7/9 är 0. 777 777 777...

Hej,

Alla periodiska decimaltal är rationella tal; exempelvis talet 0.712371237123... är periodiskt och perioden är sifferföljden 7123. 

Alla icke-periodiska decimaltal är irrationella tal, som exempelvis $\pi$ och $\sqrt{3}$.

Albiki skrev:

Hej,

Alla periodiska decimaltal är rationella tal; exempelvis talet 0.712371237123... är periodiskt och perioden är sifferföljden 7123. 

Alla icke-periodiska decimaltal är irrationella tal, som exempelvis $\pi$ och $\sqrt{3}$.

Men är det något som ska gå ihop eller är det bara så, för att jag förstår inte hur man kan skriva ett tal med oändlig decimalutveckling i bråkform :/

[Skrivet efter inlägget från Korra, och sedan hann många koma emellan...]
Jag  ser inte hur man kommer vidare på den vägen...  Eller går det?

Något i den här stilen står det nog i din mattebok:
Rationella tal  (m/n där m och n är heltal och n≠0) har antingen ändlig decimalbråksutveckling (1/4 = 0,25) eller oändlig men periodisk decimalbråksutveckling (1/3 = 0,333333...), dvs decimalerna upprepar sig enligt något fast mönster.

Omvändningen gäller också, dvs ett oändligt men periodiskt decimalbråk är ett rationellt tal. Man kan då också "räkna ut" hur det ser ut som allmänt bråk (på formen m/n).

Kolla på din räknare hur den uttrycker 1/9 i decimalform!
Vad kan man då säga om  0,7777... ?

rrt04 skrev:

1/9. Så 7/9 är 0. 777 777 777...

Här är en annan metod som (med en liten modifikation) fungerar för alla periodiska decimaltal:

Kalla x = 0.7777...

Då är 10x = 7.7777...

Det betyder att 10x - x = 7.7777... - 0.7777... = 7

Dvs 9x = 7, dvs x = 7/9

rrt04 skrev:.

Men är det något som ska gå ihop eller är det bara så, för att jag förstår inte hur man kan skriva ett tal med oändlig decimalutveckling i bråkform :/

Vi kan använda metoden på talet 0.71237123...

Kalla x = 0.71237123...

Då är 10000x = 7123.71237123...

Det betyder att 10000x - x = 7123.

Dvs x = 7123/9999

Om du betecknar talet $0.777...$ med $x$ så blir

    $10\cdot x=7.777...$

och du blir av med decimalerna om du beräknar differensen

    $10x-x=7.777...-0.777...=7.$

Men $10x-x=9x$ så då ser du att

    $9x=7\iff x=\frac{7}{9}.$

Yngve skrev:

rrt04 skrev:

1/9. Så 7/9 är 0. 777 777 777...

Här är en annan metod som (med en liten modifikation) fungerar för alla periodiska decimaltal:

Kalla x = 0.7777...

Då är 10x = 7.7777...

Det betyder att 10x - x = 7.7777... - 0.7777... = 7

Dvs 9x = 7, dvs x = 7/9

Denna metod är rätt så enkel. 

Exempel: 

0. 666 666 666 = x

10x = 6,666 666 666 

10x-x = 6 

Här fastnar jag lite för jag förstår inte vart 9 kommer ifrån

rrt04 skrev:

Denna metod är rätt så enkel. 

 

Exempel: 

0. 666 666 666 = x

10x = 6,666 666 666 

10x-x = 6 

Här fastnar jag lite för jag förstår inte vart 9 kommer ifrån

I vänsterledet står det 10x - x. Detta är lika med 9x. Där får du nian.

Albiki skrev:

Om du betecknar talet $0.777...$ med $x$ så blir

    $10\cdot x=7.777...$

och du blir av med decimalerna om du beräknar differensen

    $10x-x=7.777...-0.777...=7.$

Men $10x-x=9x$ så då ser du att

    $9x=7\iff x=\frac{7}{9}.$

Jaha, så samtidigt som man subtraherar 7 med 0.777 ska man även göra med 10x?

rrt04 skrev:

Jaha, så samtidigt som man subtraherar 7 med 0.777 ska man även göra med 10x?

Det behöver inte vara samtidigt.

Du har en ekvation som lyder

10x - x = 7.777... - 0.777...

Utför nu subtraktionen i högerledet.

Då blir ekvationen 10x - x = 7.

Utför nu subtraktionen i vänsterledet.

Då blir ekvationen 9x = 7.

Dividera nu bägge sidor med 9.

Då får du att x = 7/9.

Hängde du med?

Du subtraherar inte 7 och 0.777... utan du subtraherar 7.777... och 0.777.... 

Ja, 10x-x är lika med 7 och samtidigt är 10x-x=9x så då måste 9x vara lika med 7 också.

Albiki skrev:

Du subtraherar inte 7 och 0.777... utan du subtraherar 7.777... och 0.777.... 

Ja, 10x-x är lika med 7 och samtidigt är 10x-x=9x så då måste 9x vara lika med 7 också.

Ja, såklart. Bara ett litet slarvfel. Tack så mycket för hjälpen!

rrt04 skrev:

Ja, såklart. Bara ett litet slarvfel. Tack så mycket för hjälpen!

Bra.

Kontrollfråga: Kan du skriva talet 0.434343... som ett rationellt tal?

Yngve skrev:

rrt04 skrev:

Ja, såklart. Bara ett litet slarvfel. Tack så mycket för hjälpen!

Bra.

Kontrollfråga: Kan du skriva talet 0.434343... som ett rationellt tal?

x = 0.434343.... 

10x = 4.3434... 

10x-x = 9x 

4.3434 - 0,4343 = 3.91 

9x = 3.91 

Svar: Nej för att man inte kan skriva bråk som decimal och därför är det inte ett rationellt tal. 

Prova Yngves metod med x och 100x istället (100 för att det är två siffror som upprepas, så om man multiplicerar x med 100 så blir sifffrorna efter decimalkommat precis samma som innan, så skillnaden blir exakt 43).

Smaragdalena skrev:

Prova Yngves metod med x och 100x istället (100 för att det är två siffror som upprepas, så om man multiplicerar x med 100 så blir sifffrorna efter decimalkommat precis samma som innan, så skillnaden blir exakt 43).

ok ska pröva