Rationella Uttryck, Ekvation

Det ser ut att vara ganska många fel.

Varifrån kommer x i nämnaren på första termen? Eller ska det vara ett gångertecken?

Du kan inte sätta bråken på gemensamt bråkstreck eftersom de inte har samma nämnare.

Hur får du (x+2)²?

Men som jag skrev i en annan tråd är ett bra sätt att lösa ekvationer med nämnare att man multiplicerar båda leden med MGN (minsta gemensamma nämnaren). Vilken är den i det här fallet?

Louis skrev:

Det ser ut att vara ganska många fel.

Varifrån kommer x i nämnaren på första termen? Eller ska det vara ett gångertecken?

Du kan inte sätta bråken på gemensamt bråkstreck eftersom de inte har samma nämnare.

Hur får du (x+2)²?

Men som jag skrev i en annan tråd är ett bra sätt att lösa ekvationer med nämnare att man multiplicerar båda leden med MGN (minsta gemensamma nämnaren). Vilken är den i det här fallet?

Det ska vara 3 gånger (x+2). 

(x+2)² får jag när jag la ihop de två första bråken som har (x+2) i täljaren eftersom jag multiplicera in det. 

Den minsta gemensamma nämnaren måste väl vara x? Men problemet börjar redan med att Det finns tre olika faktorer i nämnarna (x-2), x och (x+2) 

Det ska vara 3 gånger (x+2)

Jag frågade om nämnaren.

(x+2)² får jag när jag la ihop de två första bråken som har (x+2)

(x+2)² betyder (x+2)*(x+2), inte (x+2) + (x+2). Du multiplicerar 3, 2, 3 och x fast det är fråga om addition.
Jag skriver det här så du kan fundera över felen, även att du satte bråken på gemensamt bråkstreck fast de inte har samma nämnare. Men tillvägagångssättet är ett annat.

Det finns tre olika faktorer i nämnarna (x-2), x och (x+2)

Ja, och MGN är produkten av dem, det som du har i nämnaren efter din förenkling.

Pröva att börja om med uppgiften och multiplicera båda leden (alla termers täljare) med x(x+2)(x−2).
Alla nämnare kan då förkortas bort.

Louis skrev:

Det ska vara 3 gånger (x+2)

Jag frågade om nämnaren.

(x+2)² får jag när jag la ihop de två första bråken som har (x+2)

(x+2)² betyder (x+2)*(x+2), inte (x+2) + (x+2). Du multiplicerar 3, 2, 3 och x fast det är fråga om addition.
Jag skriver det här så du kan fundera över felen, även att du satte bråken på gemensamt bråkstreck fast de inte har samma nämnare. Men tillvägagångssättet är ett annat.

Det finns tre olika faktorer i nämnarna (x-2), x och (x+2)

Ja, och MGN är produkten av dem, det som du har i nämnaren efter din förenkling.

Pröva att börja om med uppgiften och multiplicera båda leden (alla termers täljare) med x(x+2)(x−2).
Alla nämnare kan då förkortas bort.

Oj, ja x(x+2) är gånger emellan. Men jag kände på mig att jag gjorde fel från början här. Försökte titta på vad som fattas i de olika nämnarna för att därefter förlänga med det som fattas. Men det är alltså fel tillvägagångssätt när man har flera bråk då? Är inte så säker på de här med MGN, har titta på en genomgång om det på youtube men där höll de på med primtalsfaktorisering och de är inget jag är bra på. Men MGN är alltså produkten av alla nämnarna tillsammans? 

Ja (svar på sista frågan), om nämnarna inte har någon gemensam faktor. Det måste inte vara minsta gemensamma nämnaren, men det blir enklare räkningar så.

En del löser ekvationer med nämnare genom att först göra bråken liknämniga, som du försökte.
Alltså förlänga varje bråk så att de får samma nämnare.
Jag tycker att det är enklare att i stället multiplicera båda leden med MGN, så att man genast blir av med alla nämnare. Om inte annat blir det mindre att skriva.

Louis skrev:

Det ska vara 3 gånger (x+2)

Jag frågade om nämnaren.

(x+2)² får jag när jag la ihop de två första bråken som har (x+2)

(x+2)² betyder (x+2)*(x+2), inte (x+2) + (x+2). Du multiplicerar 3, 2, 3 och x fast det är fråga om addition.
Jag skriver det här så du kan fundera över felen, även att du satte bråken på gemensamt bråkstreck fast de inte har samma nämnare. Men tillvägagångssättet är ett annat.

Det finns tre olika faktorer i nämnarna (x-2), x och (x+2)

Ja, och MGN är produkten av dem, det som du har i nämnaren efter din förenkling.

Pröva att börja om med uppgiften och multiplicera båda leden (alla termers täljare) med x(x+2)(x−2).
Alla nämnare kan då förkortas bort.

Men hur kan x(x+2)(x-2) bli den gemensamma nämnaren när x-2 redan finns i det första bråket och x+2 finns i det tredje. Då får vi över faktorer i bråken ändå. 

Har skrivit om det och gjort såhär, är det korrekt och vad gör jag sen?

$$\begin{gathered} \frac{3x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\times x\left(x+2\right)}+\frac{2(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{3x(x-2)}{(x+2)\times x(x-2)}= \\ \frac{3x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{2(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{3x(x-2)}{x(x+2)(x-2)}= \\ \frac{3x(x+2)+2(x+2)(x-2)+3x(x-2)}{x(x+2)(x-2)} \end{gathered}$$

Ser inte det nya.

Om du vill använda den metod jag föreslår ska båda leden och varje term multipliceras med samma uttryck som innehåller alla nämnare som faktorer (MGN). Så att du i varje term kan förkorta bort den nämnaren. I det här fallet är MGN x(x+2)(x−2).

Louis skrev:

Ser inte det nya.

Om du vill använda den metod jag föreslår ska båda leden och varje term multipliceras med samma uttryck som innehåller alla nämnare som faktorer (MGN). Så att du i varje term kan förkorta bort den nämnaren. I det här fallet är MGN x(x+2)(x−2).

Kolla #7 har lagt till min nya räkning där. Men den är inte fullständig ännu

Nu stämmer det. Du använder alltså den andra metoden, att förlänga varje bråk så att de får samma nämnare.

Vad du gör är att du arbetar bara med vänsterledet i ekvationen. Man brukar redovisa lösningen av en ekvation genom att skriva om hela ekvationen på ny rad efter varje operation man utfört. Alltså att du i det här fallet skriver = 0 på varje rad.

När du är klar kan vi jämföra med den metod som jag rekommenderar.

Här är hela lösningen jag kom fram till:

$$\begin{gathered} \frac{3x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\times x\left(x+2\right)}+\frac{2(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{3x(x-2)}{(x+2)\times x(x-2)}=0 \\ \frac{3x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{2(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{3x(x-2)}{x(x+2)(x-2)}=0 \\ \frac{3x(x+2)+2(x+2)(x-2)+3x(x-2)}{x(x+2)(x-2)}=0 \\ x(x+2)(x-2)\times \frac{8x^2-8}{x(x+2)(x-2)}=0\times x(x+2)(x-2) \\ 8x^2-8=0 \\ \frac{8x^2}{8}=\frac{8}{8} \\ {x}^2=1 \\ x=\pm \sqrt{1} \\ x=\pm 1 \end{gathered}$$

Vilket stämmer överens med facit

Ja det stämmer. Fast skriv som sagt hela ekvationen på varje rad. Och du har extra = på slutet av några rader. En ekvation består av vänster led = höger led, bara ett =. $\pm$ ska sitta före $\sqrt{1}$ på raden ovanför. $\sqrt{1}$ är alltid 1.

Så här skulle jag göra, alltså att multiplicera båda leden med MGN.
Fördelen är att man snabbare blir av med nämnarna så att det blir mindre att skriva.

$$\begin{gathered} \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x+2} = 0 \\ \frac{3x(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{2x(x+2)(x-2)}{x} + \frac{3x(x+2)(x-2)}{x+2} = 0*x(x+2)(x-2) \end{gathered}$$

3x(x+2) + 2(x²-4) + 3x(x-2) = 0

3x² + 6x + 2x² - 8 + 3x² - 6x = 0

8x² = 8

x² = 1

x = $\pm$1

Jag ändrade = tecken nu. Är det så du menar det skulle se ut?

Louis skrev:

Ja det stämmer. Fast skriv som sagt hela ekvationen på varje rad. Och du har extra = på slutet av några rader. En ekvation består av vänster led = höger led, bara ett =. $\pm$ ska sitta före $\sqrt{1}$ på raden ovanför. $\sqrt{1}$ är alltid 1.

Så här skulle jag göra, alltså att multiplicera båda leden med MGN. Fördelen är att man snabbare blir av med nämnarna så att det blir mindre att skriva.

$$\begin{gathered} \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x+2} = 0 \\ \frac{3x(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{2x(x+2)(x-2)}{x} + \frac{3x(x+2)(x-2)}{x+2} = 0*x(x+2)(x-2) \end{gathered}$$

3x(x+2) + 2(x²-4) + 3x(x-2) = 0

3x² + 6x + 2x² - 8 + 3x² - 6x = 0

8x² = 8

x² = 1

x = $\pm$1

Ah, ja den metoden har vi nog använt under lektionen någon gång. Men den kom inte lika naturligt till mig i huvudet som förlängning. Kanske för att vi sysslat mycket med de. Sen har jag svårt att se ”sambandet” som säger att MGN= X(x+2)(x-2) i det här fallet 

6:e raden ser lite konstig ut.
Och skriv = 0 på raderna 1-3 i stället för att ha en förenklingskedja.

Är du med på skillnaden mellan de två metoderna?
Alltså att förlänga varje term för att få MGN eller att multiplicera båda leden med MGN.

Louis skrev:

6:e raden ser lite konstig ut.
Och skriv = 0 på raderna 1-3 i stället för att ha en förenklingskedja.

Är du med på skillnaden mellan de två metoderna?
Alltså att förlänga varje term för att få MGN eller att multiplicera båda leden med MGN.

Ah okej, ska jag göra

Ja skillnaden är att om man multiplicerar in MGN så tar får man bort nämnarna direkt och får fram de uttrycken som man adderar för att få fram den slutliga ekvationen som man bland annat delar med 8 och drar roten ur. Så det är ett snabbare ”händelseförlopp”

Tack så mycket för hjälpen! Känner att jag har en mycket bättre förståelse på de två olika metoderna och vad som är tillåtet och inte är :)