Rationella uttryck

Sätt A = 10. 

Kan du då beräkna f(2)? 

Intressant uppgift! En extra fråga (överkurs):

vad heter den iterativa metod som ligger bakom sambandet ovan?

$\lim_{n\to \infty} f(f(...f(x_0)...)) = A^{\frac{1}{3}}$

Hej!

Det handlar om att finna en lösning till ekvationen

    $\displaystyle f(x) = x.$

Om $x$ är ett sådant tal så följer det att

    $\displaystyle 2x^3 + A = 3x^3$,

det vill säga $A = x^3$ vilket är samma sak som att talet $x$ är lika med kubikroten till talet $A$.

    $\displaystyle x = \sqrt[3]{A}.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Det handlar om att finna en lösning till ekvationen

    $\displaystyle f(x) = x.$

Om $x$ är ett sådant tal så följer det att

    $\displaystyle 2x^3 + A = 3x^3$,

det vill säga $A = x^3$ vilket är samma sak som att talet $x$ är lika med kubikroten till talet $A$.

    $\displaystyle x = \sqrt[3]{A}.$

Albiki

Snyggt! Vad har metoden för konvergenshastighet t.ex. i jämförelse med Newton-Raphsons metod?

Noterar nu att det faktiskt är Newton-Raphson, fast skriven lite annorlunda.

Sätt $g(x) = x^3 - A$

Vi söker nu nollställena till $g(x)$.

Enligt Newton-Raphson:

$x_{n+1} = x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)} =$

$x_n - \frac{(x_n)^3-A}{(3(x_n)^2} =$

$\frac{2(x_n)^3+A}{3(x_n)^2} = f(x_n)$