3 svar
119 visningar
Safira 7 – Fd. Medlem
Postad: 7 nov 2020 20:44

Rationella nollställen

Hej,

 

Jag har en fråga som jag klurat på ett tag, men kommer inte vidare.

Den säger så: Visa att polynomet px5+x3+q där p och q är udda, primtal, saknar rationella nollställen.

 

Om polynomet skulle har en rationell nollställen, så skulle det vara qp, och då skulle vi få att : qp5p+qp3+q=0

Sen kommer jag fram till att q5+pq3+p4qp4=0

Då måste hela nämnaren vara lika med noll för att det ska finnas rationella nollställe, och jag behöver visa att detta aldrig kan anta. Om jag antar att antingen q är negativ, så kan väl uttrycket bli noll? jag vet inte riktigtigt hur jag ska rasonera nu :/.

 

Tacksam för allt hjälp jag kan få.

 

MVH,

Laguna 30252
Postad: 7 nov 2020 21:30

Kalla det möjliga rationella nollstället för a/b i stället, för det behöver inte ha något gemensamt med p och q. 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 7 nov 2020 22:50 Redigerad: 7 nov 2020 22:53

Hej,

Det är fel när du skriver att om polynomet px5+x3+qpx^5+x^3+q har ett rationellt nollställe så är det x=qpx=\frac{q}{p}

Anta att polynomet har det rationella nollstället ab\frac{a}{b} där heltalen aa och bb är relativt prima och uppfyller följande samband.

    pa5+b5a3+qb5=0.pa^5+b^5a^3+qb^5=0.

Det följer att

    q·b5=-a3·(b5+pa2)q\cdot b^5 = -a^3\cdot (b^5+pa^2)

och

    p·a5=-b5·(q+a3).p \cdot a^5 = -b^5\cdot (q+a^3).

Eftersom aa och bb är relativt prima måste det gälla att b5+pa2=b5b^5+pa^2 = b^5 samt q=-a3q=-a^3 vilket leder till en motsägelse.

Safira 7 – Fd. Medlem
Postad: 7 nov 2020 23:32 Redigerad: 7 nov 2020 23:37

Ok, men jag tänkte på att  i en P(x): anXn+a (n-1)X (n-1)+...+ax+a0  så gäller det att Om stär en rationell rot, så gäller det att s delar a0  och t dela a i och ed att SGD av s och t är 1, tänkte jag att det inte skulle vara problematiskt att förmulera det så.

Ska tugga på förklaringen ett tag...

tack för det!

Svara
Close