Rationella nollställen

Hej,

Jag har en fråga som jag klurat på ett tag, men kommer inte vidare.

Den säger så: Visa att polynomet px⁵+x³+q där p och q är udda, primtal, saknar rationella nollställen.

Om polynomet skulle har en rationell nollställen, så skulle det vara $\frac{q}{p}$ , och då skulle vi få att : ${(\frac{q}{p})}^{5} p + {(\frac{q}{p})}^{3} + q = 0$

Sen kommer jag fram till att $\frac{(q^{5} + p q^{3} + p^{4} q)}{p^{4}} = 0$

Då måste hela nämnaren vara lika med noll för att det ska finnas rationella nollställe, och jag behöver visa att detta aldrig kan anta. Om jag antar att antingen q är negativ, så kan väl uttrycket bli noll? jag vet inte riktigtigt hur jag ska rasonera nu :/.

Tacksam för allt hjälp jag kan få.

MVH,

Kalla det möjliga rationella nollstället för a/b i stället, för det behöver inte ha något gemensamt med p och q.

Hej,

Det är fel när du skriver att om polynomet $px^5+x^3+q$ har ett rationellt nollställe så är det $x=\frac{q}{p}$ .

Anta att polynomet har det rationella nollstället $\frac{a}{b}$ där heltalen $a$ och $b$ är relativt prima och uppfyller följande samband.

$pa^5+b^5a^3+qb^5=0.$

Det följer att

$q\cdot b^5 = -a^3\cdot (b^5+pa^2)$

och

$p \cdot a^5 = -b^5\cdot (q+a^3).$

Eftersom $a$ och $b$ är relativt prima måste det gälla att $b^5+pa^2 = b^5$ samt $q=-a^3$ vilket leder till en motsägelse.

Ok, men jag tänkte på att i en P(x): a_nXⁿ+a _(n-1)X ^(n-1)+...+a₁x+a₀så gäller det att Om $\frac{s}{t}$ är en rationell rot, så gäller det att s delar a₀ och t dela a_n i och ed att SGD av s och t är 1, tänkte jag att det inte skulle vara problematiskt att förmulera det så.

Ska tugga på förklaringen ett tag...

tack för det!

Svara

Visa senaste svar