Rationella/irrationella tal

MrBlip skrev:

Hej!

Är tal som har decimaler rationella eller irrationella tal? Till exempel 7,37? 

Definitionen av ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas på bråkform där täljaren och nämnaren är heltal.

Eller 

En kvot man får där täljaren och nämnaren är heltal. 

Eftersom 7,37 kan skrivas på bråkform där villkoren ovan följs är det ett rationellt tal enligt definition.

$7,37=\frac{737}{100}$

Beteckningen för all Rationella tal är $\mathrm{\mathbb{Q}}$
$\mathrm{\mathbb{Q}}=\left\{\frac{a}{b},b\ne 0, a\in \mathrm{\mathbb{Z}},b\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Tack!

7.37 kan du skriva som 737 / 100, så det är ett rationellt tal. "Rationellt" betyder att det kan skrivas som ett bråk mellan heltal. Men vissa decimaltal, som $\pi = 3.141592\ldots$, är inte rationella. Att talet har decimaler avslöjar alltså inte om det är rationellt eller inte.

Men talet PI är ju ett irrationellt tal, även fast 3,14 kan skrivas som en kvot av två heltal:

$\frac{314}{100}$= 3,14

Ja, $\pi$ är irrationellt, medan $3.14$ är rationellt. Det är ingen motsättning där, för pi är inte 3.14. Pi avrundas ofta till 3.14, men det riktiga talet pi har oändligt många decimaler.

Okej! Så tal med oändligt många decimaler är alltså irrationella tal!

Nja. En tredjedel är ju ett rationellt tal: $\frac{1}{3} = 0.33333\ldots$

Talet $\pi$ är inte exakt lika med 3,14 utan det är oändligt många decimaler, som aldrig upprepas.

Tack ska ni ha! Nu fattar jag mer!

Ett sätt som man "kan se" på om ett tal är irrationellt eller rationellt är på decimalutvecklingen:

Om det är som så att decimalerna efter ett tag bara består av en följd med siffror som upprepas gång på gång så är talet rationellt; om detta aldrig inträffar är talet irrationellt.

talet 15,2317891637894411411411411411411411411411... skulle till exempel då vara rationellt eftersom slingan 411 hela tiden upprepas på slutet. En femtedel, dvs. 0,2 är också rationell eftersom det talet kan man se som 0,20000000000000000..., dvs. slingan som bara består av en nolla upprepas.

Detta är någonting jag upptäckt på egen hand, så jag tänkte jag skulle delge beviset, för att se om någon av de andra här kan peka ut om mitt resonemang fallerar eller håller.

För det första: summan av två rationella tal är rationella.

Bevis: om $\left\{a;b\right\}\in \mathrm{\mathbb{Q}}$så måste talen kunna skrivas som bråk, $a=\frac{t_a}{n_a},b=\frac{t_b}{n_b}$

Deras summa ges då av $\frac{t_a}{n_a}+\frac{t_b}{n_b}=\frac{t_a*n_b}{n_a*n_b}+\frac{t_b*n_a}{n_b*n_a}=\frac{t_a*n_b+t_b*n_a}{n_b*n_a}$

Produkten av två heltal är ett heltal, likaså är summan av två heltal, så vi har att summan ges av ett heltal delat på ett heltal. Så summan är alltså ett rationellt tal.

För att sedan gå vidare skall vi använda oss av ett litet knep: om man vill få en viss slinga att upprepa sig så kan man ta slingan delat på en slinga med samma längd som bara består av 9:or. t.ex

$\frac{411}{999}=0,411411411411411...$

$\frac{12}{99}=0,1212121212121212...$

$\frac{3}{9}=0,3333333333...$

Så för att återskapa exemplet innan kan man ta

$$\begin{gathered} 15,2317891637894411411411411411411411411411...= \\ \frac{152317891637894}{{10}^{13}}+\frac{411}{999*{10}^{13}} \end{gathered}$$

vilket är en summa av två stycken rationella tal och därmed borde det vara rationellt. Här har tiopotenserna valts så att de har rätt förskjutning.

Det enda som återstår skulle vara att bevisa att ett tal utan evigt upprepande slinga i decimalutvecklingen är irrationellt. Vilket jag inte minns om jag hittat något bevis till.

Man kan också tänka sig hur det går till då man räknar ut decimalutvecklingen i en kvot. För varje position i decimalutvecklingen där dividerar man och tar ut rester för att se hur mycket som återstår då man ska räkna ut talet i nästa position. Nämnaren förändras inte, så om man efter några positioner kommer fram till att man har fått samma täljare som tidigare så kommer man ju att upprepa uträkningen och få ut samma tal som tidigare, vilket kommer att ge en slinga.