Rationella funktioner
En rationell funktion är en kvot mellan två polynom. Definitionsmängden till en rationell funktion är hela R förutom de punkter där nämnaren är lika med noll. När man löser ekvationer av typen f(x)=0 är en rationell funktion gör man först en omskrivning så att man får en polynomekvation. Man måste sedan kontrollera att lösningarna inte gör någon av de ingående nämnarna till 0.
Sedan får man exemplet 1/x+1/(x+1)+1=0, som har lösningarna -3/2 plus/minus sqrt(5)/2. I kompendiet är de nöjda eftersom nämnaren inte är noll i någotdera fallet. Jag känner mig rätt korkad, men kan någon ge mig ett exempel på hur det hade sett ut om nämnarna hade blivit noll? Menar de att i bråken som är lösningarna ska nämnaren inte vara noll?
Tråd flyttad från Ma3 till högskolematematik. /Smaragdalena, moderator
Nollställena till funktionen löses:
Men, nu måste vi kontrollera att våra rötter inte ger att nämnaren är lika med noll:
Vi måste alltså stryka den rot som är x = 2, eftersom det ger en nämnare lika med noll.
Så att "nämnaren" inte ska bli lika med noll betyder alltså att ekvationen inte ska bli lika med noll? Det finns ju ingen nämnare i 2-2=0, eftersom inget av de ingående talen är något bråk...
Jodå, en rationell funktion måste ha någon typ av uttryck i både täljare och nämnare. Det måste dock inte finnas ett bråk i täljaren eller nämnaren. Men uttrycket i nämnaren får aldrig vara lika med noll, eftersom uttrycket då blir , (eller något annat i täljaren), vilket inte är tillåtet. Detta är viktigt att komma ihåg när nollställen för rationella funktioner letas upp, eftersom funktionen inte är definierad då nämnaren är lika med noll. Där nämnaren skulle ha varit noll finns endast ett hål. För att dubbelkolla att vi inte hävdar att ett hål i funktionen är ett nollställe måste vi kontrollera våra lösningar, eller utesluta lösningar innan vi löser ekvationen.
Smutstvätt skrev :För att dubbelkolla att vi inte hävdar att ett hål i funktionen är ett nollställe måste vi kontrollera våra lösningar, eller utesluta lösningar innan vi löser ekvationen.
Men hur ser vi att "nämnaren" är lika med noll i 2-2=0 som föreslogs som ett exempel på vad som inte fungerar ovan?
Det finns två sätt att undvika dessa "rötter":
1. Titta innan du löser ekvationen; för vilka x-värden är nämnaren lika med noll? Dessa värden måste sedan uteslutas från den rot/de rötter som hittas vid ekvationslösningen.
2. Sätt uttrycket lika med noll, och lös ekvationen först. Kontrollera sedan att du inte fått med några odefinierade svar, genom att sätta in dessa x-värden i nämnaren och se om du får att nämnaren blir lika med noll för någon rot.
Det hela ger samma resultat, och det vanligaste är att man väljer vad som passar en själv och sammanhanget.
Vi hade funktionen . Då kan vi börja med att titta på om nämnaren kan bli noll. Sätt att . Alla rötter till denna ekvation är x-värden då funktionen inte är definierad, eftersom vi får . Vår ekvation har lösningen x = 2. Då vet vi att ett eventuellt nollställe till funktionen i punkten (2;0) inte kan räknas till mängden av nollställen, eftersom denna punkt inte är definierad.
Vi ser helt enkelt att nämnaren är lika med noll genom att lösa den ekvation som uppstår om vi sätter nämnarens uttryck lika med noll. I enklare fall brukar det vara tydligt bara genom att titta på nämnaren, men det är inget fel att lösa ekvationen ordentligt.
