Rationella funktioner

Du får partialbråksuppdela. 

Hej!

Uppgift a: Eftersom nämnaren kan skrivas som en produkt $(5-x)(x+1)$ så kan kvoten skrivas som en summa av två rationella funktioner.

    $\displaystyle \frac{x+13}{(5-x)(x+1)} = \frac{A}{5-x} + \frac{B}{x+1};$

bestäm sedan konstanterna $A$ och $B.$

Uppgift b: Man ser att $x=1$ är en rot till nämnaren. Det betyder att nämnaren kan skrivas som en produkt $(x-1)(x^2+2ax +b);$ bestäm konstanterna $a$ och $b.$ Undersök om andragradspolynomet kan faktoriseras ytterligare. Därefter utför du en partialbråksuppdelning liknande den som du utförde i Uppgift a. 

Albiki

okej efter Gauss elimination fick jag fram att A=3 och B=2

men i svaret har dom 3ln(x-5)-2ln(x+1)+c

jag förstår inte varför dom har bytt tecken från (5-x) till (x-5) och dom har ändrat tecken mellan A och B

Det är säkert för att slippa krångla med att ha ett -x (inre derivata och sånt) i nämnaren på första termen. Om du gör uträkningen med (x-5) i stället för (5-x) bör du få ändrat tecken på konstanten B.

Hej!

Det gäller att integralen

    $\displaystyle \int \frac{3}{5-x}\text{d}x = -3\ln|5-x|+C_1$

där $C_1$ betecknar en godtycklig konstant; att det ska vara $-3$, och inte 3, kommer från den inre derivatan.

På samma sätt är integralen

    $\displaystyle \int \frac{2}{x+1}\text{d}x = 2\ln|x+1| + C_2$

där $C_2$ betecknar en godtycklig konstant. Notera att det är viktigt att ha med absolutbelopp, eftersom du inte vet något om vilka tal $x$ som är aktuella här (bortsett från $x=5$ och $x=-1$ förstås).

De primitiva funktionerna är därför

    $\displaystyle \ln|x+1|^2 - \ln|5-x|^3 + C = \ln\frac{|x+1|^2}{|5-x|^3} + C$

där $C$ betecknar en godtycklig konstant (som kan skrivas som $C_1+C_2$, men det är oväsentligt). 

Albiki

okej nu förstår jag hur man får $3\ln \left(x-5\right)$ och $2\ln \left(x+1\right)$ men jag får fel tecken mellan talen

Har du gjort om bestämningen av konstanterna A och B fast med (x-5) och (x+1) i nämnaren?