Rationella funktioner

Jag skulle faktorisera täljare och nämnare. Nämnaren är lätt: 2(x–2)

För att faktorisera täljaren måste du lösa x²–5x+6 = 0

Mogens skrev:

Jag skulle faktorisera täljare och nämnare. Nämnaren är lätt: 2(x–2)

För att faktorisera täljaren måste du lösa x²–5x+6 = 0

Visa spoiler

pq-formeln ger att x = 2 och x = 3, dvs täljaren är (x–2)(x–3)

Du kan alltså förkorta bort (x–2)

MEN kom ihåg att x inte får vara 2 för då är bråket på formen 0/0.

Du har kvar y = (x–3)/2 som kanske inte är så svår att rita.

Men grafen har ett litet litet osynligt hål för x = 2

OBS detta gjorde jag i huvudet, det kan vara fel någonstans. 

Det låter rätt, men jag har fortfarande svårigheter med att rita rationella funktioner, har aldrig gjort det förut.

Inte ens y = (x–3)/2 kan jag inte rita

ChristopherH skrev:

Det låter rätt, men jag har fortfarande svårigheter med att rita rationella funktioner, har aldrig gjort det förut.

Du kommer att lära dig metoder för detta om du läser Matte 4

Inte ens y = (x–3)/2 kan jag inte rita

Skriv om det som y = x/2-3/2. Ser du då att det är en rät linje?

Den allra mest "basic" metoden funkar alltid:

§ Välj ett x-värde

Beräkna y-värdet

Markera punkten (x,y) i ett koordinatsystem

upprepa från § tills du ser hur kurvan ser ut

ChristopherH skrev:

jag har fortfarande svårigheter med att rita rationella funktioner, har aldrig gjort det förut.

Matte 3-metoder för att skissa grafen till en godtycklig funktion f(x) är:

• Hitta och markera funktionens eventuella nollställen, dvs f(x) = 0.
• Hitta, och markera funktionens eventuella stationära punkter, dvs f'(x) = 0.
• Gör en teckentabell över funktionens derivata.
• Typbestäm eventuella stationära punkter.
• Leta efter symmetrier.
• Ta reda på vad som händer vid f(0) och då x går mot plus/minus oändligheten.
• Värdetabell.

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

jag har fortfarande svårigheter med att rita rationella funktioner, har aldrig gjort det förut.

Matte 3-metoder för att skissa grafen till en godtycklig funktion f(x) är:

• Hitta och markera funktionens eventuella nollställen, dvs f(x) = 0.
• Hitta, och markera funktionens eventuella stationära punkter, dvs f'(x) = 0.
• Gör en teckentabell över funktionens derivata.
• Typbestäm eventuella stationära punkter.
• Leta efter symmetrier.
• Ta reda på vad som händer vid f(0) och då x går mot plus/minus oändligheten.
• Värdetabell.

Går det att göra k(x-x1)(x-x2) ?

Men då måste jag ha 2 nollställen. Men då måste beräkna k värdet ellerhur?

så om vi säger att vi hade nollställena k(x-3)(x-6)

=>

k(x^2-6x-3x+18)

=>

hur går man vidare nu?

ChristopherH skrev:

Inte ens y = (x–3)/2 kan jag inte rita

Yngve skrev:
Skriv om det som y = x/2-3/2. Ser du då att det är en rät linje?
 

Och nej jag ser inte hur det blir en rät linje eftersom det är division.

ChristopherH skrev:

Går det att göra k(x-x1)(x-x2) ?

Om f(x) är en andragradsfunktion så kan du göra så, ja.

Men om du till exempel har f(x) = sin(x) eller f(x) = x³-2 så kan du inte göra så.

De steg jag beskrev fungerar för alla typer av funktioner.

Och nej jag ser inte hur det blir en rät linje eftersom det är division.

Men om vi skriver $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ då? Ser du då att det är en rät linje?

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

Går det att göra k(x-x1)(x-x2) ?

Om f(x) är en andragradsfunktion så kan du göra så, ja.

Men om du till exempel har f(x) = sin(x) eller f(x) = x³-2 så kan du inte göra så.

De steg jag beskrev fungerar för alla typer av funktioner.

Och nej jag ser inte hur det blir en rät linje eftersom det är division.

Men om vi skriver $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ då? Ser du då att det är en rät linje?

Kanske om jag tänkte att det fanns decimaler, så den går upp 0.5x från -1.5 uppåt

Yngve skrev:

Om f(x) är en andragradsfunktion så kan du göra så, ja.

Men om du till exempel har f(x) = sin(x) eller f(x) = x3-2 så kan du inte göra så.

De steg jag beskrev fungerar för alla typer av funktioner.

Du skrev något om nollställen, så kan man använda k(x-x1)(x-x2)(x-x3) isåfall? För att få tredjegradsfunktion ritning.

Eller det där med värdetabell

Skall man gissa sig fram vilket y värde grafen får med olika x? Men hur vet man isåfall vilket x man skall börja med för att rita ner t.ex hela tredjegradsfunktionen?  (man måste ju få punkter från start till slut för att see hela funktionens utseende)

ChristopherH skrev:

Kanske om jag tänkte att det fanns decimaler, så den går upp 0.5x från -1.5 uppåt

Ja, vi kan lika gärna skriva y = 0,5x-1,5.

Ser du då att det är en rät linje?

Ja tackar!

ChristopherH skrev:

Du skrev något om nollställen, så kan man använda k(x-x1)(x-x2)(x-x3) isåfall? För att få tredjegradsfunktion ritning.

Ja, om f(x) är en tredjegradsfunktion så kan du göra på det sättet.

Men om du t.ex har f(x) = e^x-1 så kan du 8nte göra så.

Du ska lösa ekvationen f(x) = 0 för att hitta eventuella nollställen.

Eller det där med värdetabell

Skall man gissa sig fram vilket y värde grafen får med olika x? Men hur vet man isåfall vilket x man skall börja med för att rita ner t.ex hela tredjegradsfunktionen?  (man måste ju få punkter från start till slut för att see hela funktionens utseende)

Du behöver inte gissa y-värden. Du har ju att y = f(x) så om du bestämmer ett x-värde så kan du räkna fram y-värdet.

Exempel: f(x) = e^x-1.

Vi letar efter nollställen ich löser då ekvationen f(x) = 0, dvs e^x-1 = 0, dvs e^x = 1.

Den ekvationen har endast en lösning, nämligen x = ln(1), dvs x = 0.

Då vet du att grafen till y = e^x-1 skär x-axeln vid x = 0.

Du ser att f(x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten.

Då x går mot minus US oändligheten så går termen e^x mot 0 och därför går f(x) mot -1.

Gör en värdetabell för x = -2, x = -1, x = 1 och x = 2.

Då x = -2 så är y = f(-2) = e^-2-1 $\approx$ -0,86

Då x = -1 så är y = f(-1) = e^-1-1 $\approx$ -0,64

Och så vidare.

Markera dessa punkter samt det kända nollstället och rita en mjukt böjd kurva genom dem.

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

Du skrev något om nollställen, så kan man använda k(x-x1)(x-x2)(x-x3) isåfall? För att få tredjegradsfunktion ritning.

Ja, om f(x) är en tredjegradsfunktion så kan du göra på det sättet.

Men om du t.ex har f(x) = e^x-1 så kan du 8nte göra så.

Du ska lösa ekvationen f(x) = 0 för att hitta eventuella nollställen.

Eller det där med värdetabell

Skall man gissa sig fram vilket y värde grafen får med olika x? Men hur vet man isåfall vilket x man skall börja med för att rita ner t.ex hela tredjegradsfunktionen?  (man måste ju få punkter från start till slut för att see hela funktionens utseende)

Du behöver inte gissa y-värden. Du har ju att y = f(x) så om du bestämmer ett x-värde så kan du räkna fram y-värdet.

Exempel: f(x) = e^x-1.

Vi letar efter nollställen ich löser då ekvationen f(x) = 0, dvs e^x-1 = 0, dvs e^x = 1.

Den ekvationen har endast en lösning, nämligen x = ln(1), dvs x = 0.

Då vet du att grafen till y = e^x-1 skär x-axeln vid x = 0.

Du ser att f(x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten.

Då x går mot minus US oändligheten så går termen e^x mot 0 och därför går f(x) mot -1.

Gör en värdetabell för x = -2, x = -1, x = 1 och x = 2.

Då x = -2 så är y = f(-2) = e^-2-1 $\approx$ -0,86

Då x = -1 så är y = f(-1) = e^-1-1 $\approx$ -0,64

Och så vidare.

Markera dessa punkter samt det kända nollstället och rita en mjukt böjd kurva genom dem.

Så om vi t.ex visste att det var en tredjegradsfunktion så letar vi efter 3 stycken kurvsnitt genom att fortsätta utveckla värdetabellen? Om vi inte ritat ut punktern intills vi kan se dessa 3 kurvsnitt så måste vi då gå vidare med att skrivan in x värdet på f(x) intills hela funktionen är skissad. 

Men isåfall när vet man när man skall sluta anta värdet på f(x)?? Den kan ju gå mot oändlighet

Förresten f(x) betyder väl den punkten x antar värdet y. Då måste den punkten vara en värdepunkt. Men om den t.ex är en rationell funktion dä nämnaren inte får vara 0 så kan man då veta var aysmptoten/icke definerbara linjen är eller kanske gränsvärdet?

ChristopherH skrev:

Så om vi t.ex visste att det var en tredjegradsfunktion så letar vi efter 3 stycken kurvsnitt genom att fortsätta utveckla värdetabellen?

Jag förstår inte riktigt vad du menar med "kurvsnitt".

Om vi vet att f(x) är en tredjegradsfunktion så kan vi leta efter nollställen genom att försöka lösa ekvationen f(x) = 0.

Om du känner till hur man deriverar funktionen så kan vi använda det för att hitta eventuella minimi-, maximi- och terrasspunkter.

Vi kan även använda derivatan för att göra en teckentabell som visar var funktionen är växande och/eller avtagande.

 

Om vi inte ritat ut punktern intills vi kan se dessa 3 kurvsnitt så måste vi då gå vidare med att skrivan in x värdet på f(x) intills hela funktionen är skissad. 

Men isåfall när vet man när man skall sluta anta värdet på f(x)?? Den kan ju gå mot oändlighet

Det går aldrig att rita en exakt avbildning av funktionens graf. Det kommer istället att bli en skiss, så vi behöver inte använda så många värden i vår värdetabell.

Förresten f(x) betyder väl den punkten x antar värdet y.

För varje värde x i definitionsmängden så gäller att (x, f(x)) är en punkt på grafen.

Då måste den punkten vara en värdepunkt. Men om den t.ex är en rationell funktion dä nämnaren inte får vara 0 så kan man då veta var aysmptoten/icke definerbara linjen är eller kanske gränsvärdet?

Om f(x) är en rationell funktion så kan det finnas (horisontella/vertikala/sneda) asymptoter. Om det finns vertikala asymptoterna så hittar vi dem där nämnaren är lika med 0. Om.det finns horisontella/sneda asymptoterna så hittar vi dem då x går mot plus/minus oändligheten.

========

Läs gärna detta avsnitt om att skissa grafer i Matte 3 och detta avsnitt om att skissa grafer i Matte 4.

Yngve skrev:

 

Om f(x) är en rationell funktion så kan det finnas (horisontella/vertikala/sneda) asymptoter. Om det finns vertikala asymptoterna så hittar vi dem där nämnaren är lika med 0. Om.det finns horisontella/sneda asymptoterna så hittar vi dem då x går mot plus/minus oändligheten.

 

Jaha så dem horisentalla/sneda hittar man tekniskt sätt med gränsvärdet då? och vertikala med enbart då nämnaren = 0. Men när nämnaren = 0, hittar vi inte typ gränsvärdet då?

Man kan kalla dem oegentliga gränsvärden när värdet går mot plus eller minus oändligheten.