Rationell integrand envariabelsanalys

Bestäm samtliga primitiva till funktionen $\frac{x+1}{x^2-2x+5}$

Lösning:

$$\begin{gathered} \int \frac{x+1}{x^2-2x+5}dx=\int \frac{x+1}{(x-1{)}^2+4}dx=\left\{\begin{array}{c}t=x-1\\ x=t+1\\ dt=dx\end{array}\right\}=\int \frac{t+2}{t^2+4}dt= \\ =\int \frac{t}{t^2+4}dt+\int \frac{2}{t^2+4}dt=\int \frac{{\displaystyle t}}{{\displaystyle t^2+4}}dt+\frac{1}{2}·\int \frac{1}{{\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}}dt= \\ =\frac{1}{2}·\ln (x^2-2x+5)+\frac{1}{2}·arc\tan \left(\frac{x-1}{2}\right)+C \end{gathered}$$

Facit visar däremot att

$\int \frac{x+1}{x^2-2x+5}dx=\frac{1}{2}·\ln (x^2-2x+5)+arc\tan \left(\frac{x-1}{2}\right)+C$

Dvs andra termen som $arc\tan \left(\frac{x-1}{2}\right)+C$ istället för $\frac{1}{2}·arc\tan \left(\frac{x-1}{2}\right)+C$.

Jag kan inte se varför dock. Det verkar som att de har tänkt att $\int \frac{2}{t^2+4}dt=\int \frac{1}{{\displaystyle \frac{t^2}{4}}+1}dt$ medan jag får att $\int \frac{2}{t^2+4}dt=\int \frac{1}{{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+2}dt$.

Någon som kan hjälpa mig att se var jag gör fel?