räta linjer och cirklar
hur löser man detta?
Givet att det är 4 punkter på planet, hur många unika räta linjer och cirklar kan du måla med lika avstång till alla punkter?
jag förstår inte riktigt frågan eller hur man ska lösa...
Jag tycker frågan verkar svår. Jag tror inte det går att hitta sådana linjer eller cirklar för fyra godtyckliga punkter. För tre godtyckliga punkter så tror jag att man kan hitta en linje som är lika långt från alla tre, och för två godtyckliga punkter tror jag man kan hitta en cirkel (och oändligt många) som är lika långt från bägge punkterna.
(När jag skriver något ogenomtänkt så brukar mina volontäkollegor ofta fylla i med bättre svar. Håll tummarna för att de hjälper till idag också. )
Problemet är rätt knivigt.
Ta cirklarna först:
om punkterna inte är på samma rät linje, får man välja tre och rita en cirkel med dem. Då får man hitta en cirkel som är koncentrisk med den första som är på samma avstånd från den fjärde punkten, som från de tre första. Eller hur? ;)
1) Punkterna bildar en symmetrisk trapets (är på samma cirkel) - oändligt många lösningar
2) 3 av dem är på samma linje: du kan välja 3 som bildar en cirkel på 3 olika sätt - 3 lösningar
3) Inga 3 är på samma linje, bildar inte en symm. trapets - 4 lösningar
4a) Alla är på samma linje och är symmetriska, dvs avståndet mellan den första och den andra är lika med avståndet mellan den tredje och den fjärde - 1 lösning
4b) Alla är på samma linje, men är inte symmetriska - ingen lösning
Ta linjer:
1) Om punkterna är på samma linje kan du hitta oändligt många.
2) Om tre punkter är på samma linje kan du hitta en linje med lika avstånd från den första linjen och den fjärde punkten
3) Om punkterna bildar en trapets, finns en linje (heter den mittlinjen?)
... finns andra fall? Jag vet inte.
Så för tre punkter som ligger precis hur som helst så kan man hitta både en linje och en cirkel som ligger lika långt från alla tre punkterna.
Om man försöker samma sak för fyra punkter så går det bara om punkterna ligger på något speciellt sätt i förhållande till varandra.
Frågan är svår för åk 9.
Macilaci skrev:Problemet är rätt knivigt.
Ta cirklarna först:
om punkterna inte är på samma rät linje, får man välja tre och rita en cirkel med dem. Då får man hitta en cirkel som är koncentrisk med den första som är på samma avstånd från den fjärde punkten, som från de tre första. Eller hur? ;)
1) Punkterna bildar en symmetrisk trapets (är på samma cirkel) - oändligt många lösningar
2) 3 av dem är på samma linje: du kan välja 3 som bildar en cirkel på 3 olika sätt - 3 lösningar
3) Inga 3 är på samma linje, bildar inte en symm. trapets - 4 lösningar
4a) Alla är på samma linje och är symmetriska, dvs avståndet mellan den första och den andra är lika med avståndet mellan den tredje och den fjärde - 1 lösning
4b) Alla är på samma linje, men är inte symmetriska - ingen lösning
förstod inte riktigt 1an kan du förklara igen? :))
Hilda skrev:Så för tre punkter som ligger precis hur som helst så kan man hitta både en linje och en cirkel som ligger lika långt från alla tre punkterna.
Om man försöker samma sak för fyra punkter så går det bara om punkterna ligger på något speciellt sätt i förhållande till varandra.
Frågan är svår för åk 9.
yepp, skolan har gjort som "spets matte" för vissa och därifrån kom frågan, vet inte ens vilket nivå detta är
1an: Oj, jag hade fel. 4 punkter kan sitta på samma cirkel även om de inte bildar en symm. trapets. Sorry.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Cyklisk_fyrh%C3%B6rning
Och om de sitter på samma cirkel, uppfyller alla koncentriska cirklar kriteriet.
Macilaci skrev:1an: Oj, jag hade fel. 4 punkter kan sitta på samma cirkel även om de inte bildar en symm. trapets. Sorry.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Cyklisk_fyrh%C3%B6rning
Och om de sitter på samma cirkel, uppfyller alla koncentriska cirklar kriteriet.
ooo, förstår tyyp, men hon sa att vi skulle släppa cirklarna runt kvadraten eftersom det kan bli oändligt många eller något, kan du försöka bara förklara stegen man tar till svaret, med svaret helst :)
Resonemang (och erkännande av fel):
Om vi tar en cirkel (C), är punkterna på en viss avstånd (d) från C på två koncentriska cirklar (C1 och C2).
Om vi vill att alla 4 punkterna ska vara på samma avstånd, har vi följande fall:
1) alla 4 är på C1 (eller alla är på C2) dvs de bildar en cyklisk fyrhörning: vi kan ha valfri d - oändligt många lösningar
2-3) 3 av dem är på en cirkel (C1), då kan vi rita C så att den fjärde ligger på C2 - 3 eller 4 lösningar beroende på hur vi väljer punkterna (vi kan alltid rita en cirkel som innehåller 3 punkter som inte är på samma linje)
4a) Punkterna är på samma linje och ligger symmetriskt: HÄR HADE JAG FEL! Vi kan rita oändligt många C. 2 punkter ligger på C1, två på C2. Cirklarnas mittpunkt kan vara var som helst på vinkelräta bisektorn.
5) URSPRUNGLIGEN TÄNKTE JAG INTE PÅ DET HÄR: Punkterna är inte på samma linje, och två av dem ligger på C1, två på C2. I detta fall kan vi hitta mittpunkten av cirklarna med de vinkelräta bisektorerna.
Macilaci skrev:Resonemang (och erkännande av fel):
Om vi tar en cirkel (C), är punkterna på en viss avstånd (d) från C på två koncentriska cirklar (C1 och C2).
Om vi vill att alla 4 punkterna ska vara på samma avstånd, har vi följande fall:1) alla 4 är på C1 (eller alla är på C2) dvs de bildar en cyklisk fyrhörning: vi kan ha valfri d - oändligt många lösningar
2-3) 3 av dem är på en cirkel (C1), då kan vi rita C så att den fjärde ligger på C2 - 3 eller 4 lösningar beroende på hur vi väljer punkterna (vi kan alltid rita en cirkel som innehåller 3 punkter som inte är på samma linje)
4a) Punkterna är på samma linje och ligger symmetriskt: HÄR HADE JAG FEL! Vi kan rita oändligt många C. 2 punkter ligger på C1, två på C2. Cirklarnas mittpunkt kan vara var som helst på vinkelräta bisektorn.
5) URSPRUNGLIGEN TÄNKTE JAG INTE PÅ DET HÄR: Punkterna är inte på samma linje, och två av dem ligger på C1, två på C2. I detta fall kan vi hitta mittpunkten av cirklarna med de vinkelräta bisektorerna.
det tänkte jag faktiskt inte ens på, jag försökte bara måla massa former med 4 punkter med linjer emellan, men vid 5an du sa är det då lika stort avstånd??
och hur många linjer blir det då?
Logiken är liknande:
- alla 4 på samma sidan
- 3 på ena sidan
- 2-2 på varje sida
