Räta linjens ekvation — förstår inte uträkning av besvärlig lutning?

Lemonhead_1900 skrev:

...

Money = €100/week
Food = €10/kg
Shelter = €5/m2

Jag har alltså en budget på €100, och inom denna budget kan jag dela upp förhållandet mellan food och shelter hur jag vill. Formeln för budgeten ser ut såhär:

PsS + PfF = M

Ps står för "Price of shelter", och Pf står för "Price of food". Dessa räknas ut som inkomsten dividerat med kostnaden för respektive shelter och food.

Ps = M/S = €100/€5 = €20
Pf = M/F = €100/€10 = €10

För att jag ska hålla mig inom budgeten måste alltså:

Ps x S + Pf x F = €20 x S + €10 x F = €100

...

Ps är ju "Price of shelter", som ligger på x-axeln, och Pf är ju "Price of food" som ligger på y-axeln!

...

Hej, och varmt välkommen till Pluggakuten!

Du överkomplicerar grejer. 

När du skriver Food = €10/kg, vilseleder du dig själv. Du borde skriva P_f = €10/kg.

På samma sätt: i stället för Shelter = €5/m2 borde du skriva P_s= €5/m² 

Ps = M/S = €100/€5 = €20 och Pf = M/F = €100/€10 = €10 är helt fel (och överflödigt). Vi känner redan P_f och P_s.

Och nej, det är inte P_s (price of shelter) som ligger på x-axeln, utan S (shelter i kvadratmeter).

Och det är inte P_f (price of food) som ligger på y-axeln, utan F (food i kg).

Hej Macilaci,

Tack för ditt svar.

Vad man gjort i boken med exemplen av M/S och M/F tycks inte ha varit för att överkomplicera, utan för att tydligt visa vad man som mest kan köpa av endera varan (food eller shelter) om man skulle spendera hela inkomsten på den ena eller den andra.

Du har rätt i att food/kg ligger på y-axeln, och att shelter/sq.m (square meter) ligger på x-axeln. Jag är säker på att du dock förstår vad det är som gör mig lite förbryllad. Som jag tydliggör i mitt inledande inlägg så ser jag att man tar värdet som härleds från att avläsa x-axeln genom värdet som härleds genom att avläsa y-axeln? Detta får beteckna linjens lutning. Eller har jag fel i hur jag läser av det hela?

Frågan kvarstår dock, om du skulle kunna vara så vänlig att förtydliga för mig lite extra: jag tänker mig att man borde ta Pf/Ps för att få ut linjens lutning. Istället gör man tvärtom. Varför?

Tack på förhand.

Lemonhead_1900 skrev:

Som jag tydliggör i mitt inledande inlägg så ser jag att man tar värdet som härleds från att avläsa x-axeln genom värdet som härleds genom att avläsa y-axeln? Detta får beteckna linjens lutning. Eller har jag fel i hur jag läser av det hela?

 

Vad är definitionen på lutning? $\displaystyle k=\frac{\Delta x }{\Delta y}$ eller $\displaystyle k=\frac{\Delta y }{\Delta x}$?

ok?

Kolla enheten av t.ex.  P_f : det är EUR/kg, medan enheten av F är kg. Så P_f får du inte interpretera som någon sorts $∆F$. (Då hade den kg som enhet.)

Enheten av $\frac{P_s}{P_f} blir \frac{{\displaystyle \frac{EUR}{m^2}}}{{\displaystyle \frac{EUR}{kg}}}=\frac{kg}{m^2}$ just som enheten av $\frac{∆F}{∆S}$

Soderstrom skrev:

Lemonhead_1900 skrev:

Som jag tydliggör i mitt inledande inlägg så ser jag att man tar värdet som härleds från att avläsa x-axeln genom värdet som härleds genom att avläsa y-axeln? Detta får beteckna linjens lutning. Eller har jag fel i hur jag läser av det hela?

 

Vad är definitionen på lutning? $\displaystyle k=\frac{\Delta x }{\Delta y}$ eller $\displaystyle k=\frac{\Delta y }{\Delta x}$?

ok?

Ja, det är ju lite det som blir kontentan av mitt problem.

Jag tolkar det som att den enda riktiga definitionen på $k$ är $k=\frac{∆y}{∆x}$, och ingenting annat. Vidare tolkar jag vad man gör i problemet som jag beskriver som att man istället tar $k=\frac{∆x}{∆y}$. Är det här som jag har fel? Tar man $∆x$ genom $∆y$?

Jag tycks fortfarande inte riktigt förstå den egentliga härledningen i matten.

Macilaci skrev:

Kolla enheten av t.ex.  P_f : det är EUR/kg, medan enheten av F är kg. Så P_f får du inte interpretera som någon sorts $∆F$. (Då hade den kg som enhet.)

Enheten av $\frac{P_s}{P_f} blir \frac{{\displaystyle \frac{EUR}{m^2}}}{{\displaystyle \frac{EUR}{kg}}}=\frac{kg}{m^2}$ just som enheten av $\frac{∆F}{∆S}$

Tack Macilaci! Du gör mig åtminstone lite klokare, tror jag! :)

Jag tycks dock fortfarande ha problem med att förstå varför P_s tar platsen som $∆y$, och varför P_f tar platsen som $∆x$. Jag tror att jag förstår litegrann vad du menar med att P_f inte benämner y-axeln i $∆y$, men det når inte hela vägen.

Får nog försöka ragga upp en mattelärare som kan visa mig på papper i person. Det känns som att jag bara rör till alltihop!

Vad som hände mig: när jag funderade på något på kvällen och inte riktigt kunde förstå det, men hade några ledtrådar. Nästa dag blev det klart, min hjärna bearbetade informationen i sömnen.

När kalkulationerna blir mer och mer komplexa, kommer en punkt där du måste börja lita på kalkulationer, och sluta vilja interpretera varenda konstant (som P_s/P_f här).

Men ändå ett försök på interpretationen:

Vad skulle det betyda om linjen var väldigt brant? Att en liten förändring i S resulterade i en stor förändring i F. Om jag hyrde en lite större lägenhet kunde jag äta mycket mindre. Det vill säga att det är dyrt att bo (jämfört med att äta), dvs $\frac{P_s}{P_f}$ är stor.

alltid bra med en bild. Vad ekvationen säger är från början att summan av food och shelter är 100 euro.

Sedan skriver man om den lite, så man får den på räta linjens ekvation, det är det jag ritat ovan. Man har valt att ha S på x-axeln och F som en funktion av S.

Om du tittar i figuren ser du att längs linjen är summan hela tiden 100 euro. 

Avstår du från bostad får du 10 kg mat (mat för 100 euro) och hyr du 20 m2 så får du ingen mat.

Lutningen på linjen är -Ps/Pf och det är om du så vill $\frac{\Delta Y}{\Delta x}$eller snarare deltaF/deltaS.

Tack så hemskt, hemskt mycket Macilaci och Matsmats! Ni är verkligen ena riktiga klippor! :)

Du har helt rätt, Macilaci, i att min tid nog bättre spenderas med att gå vidare i boken. Polletten trillar kanske ner så småningom ändå.

Jag tittar på Matsmats bild, vilken verkligen är bra! Att F är en funktion av S förstår jag inte riktigt, annat än att $F\left(x\right)=k\times x+m$är samma sak som $y=k\times x+m$. Vad jag vet är att läraren beskrev F med ordvalen "with respect to S". Men funktionen av kurvan är väl alltid i förhållande till värdena på x? Man borde väl kunna räkna ut $y=k\times x+m$ även om man bara vet skärpunkten på x också, och inte bara via skärningspunkten i y i.o.m. m, antar jag?

För att illustrera vad det är som gör min hjärna till mer potatismos än vanligt kontrar jag här med mitt egna konstnärliga mästerverk!

Vad tror ni om det jag skriver här? :)

Tack för all hjälp hittills, hursomhelst. Ni ska verkligen veta att det uppskattas hjärtligt!

Lemonhead_1900 skrev:

PsS + PfF = M

Ps står för "Price of shelter", och Pf står för "Price of food". Dessa räknas ut som inkomsten dividerat med kostnaden för respektive shelter och food.

Ps = M/S = €100/€5 = €20
Pf = M/F = €100/€10 = €10

Detta stämmer inte, står det verkligen så i boken? Du får nämligen:

$P_s S + P_f F = \dfrac{M}{S}S+\dfrac{M}{F}F = 2M \neq M$

Att kalla dem för "Price of ..." är också konstigt då det snarare är ett mått på hur många kvadratmeter husrum eller kilogram mat du kan köpa per vecka om du bara köper det. Det är alltså köpkraften för respektive sak.

Jag tror du missförstått vad som står i boken och din parafrasering innehåller både missförstånd samt förvirring vilket stjälper snarare än hjälper i denna tråd.

Lägg upp bilder på exakt vad som står i boken så att vi inte behöver gissa baserat på vad du uppfattat.

Tillägg: 6 okt 2021 23:39

Sedan, som Macilaci redan skrivit, $P_s$ och $P_f$ representerar inte x- respektive y-axel. De är inversen av hur mycket av vad för hur mycket pengar.

$F$ har enheten kg.

$P_f$ har enheten Euro/kg

Alltså kan du inte betrakta $P_f$ som lika med $F$ på något vis. Den ena är invers av den andra. Alltså, du har:

$F = M_b/P_f$

Där $M_b$ är någon summa du betalar med. 

Ebola skrev:

Lemonhead_1900 skrev:

PsS + PfF = M

Ps står för "Price of shelter", och Pf står för "Price of food". Dessa räknas ut som inkomsten dividerat med kostnaden för respektive shelter och food.

Ps = M/S = €100/€5 = €20
Pf = M/F = €100/€10 = €10

Detta stämmer inte, står det verkligen så i boken? Du får nämligen:

$P_s S + P_f F = \dfrac{M}{S}S+\dfrac{M}{F}F = 2M \neq M$

Att kalla dem för "Price of ..." är också konstigt då det snarare är ett mått på hur många kvadratmeter husrum eller kilogram mat du kan köpa per vecka om du bara köper det. Det är alltså köpkraften för respektive sak.

Jag tror du missförstått vad som står i boken och din parafrasering innehåller både missförstånd samt förvirring vilket stjälper snarare än hjälper i denna tråd.

Lägg upp bilder på exakt vad som står i boken så att vi inte behöver gissa baserat på vad du uppfattat.

---

Tillägg: 6 okt 2021 23:39

Sedan, som Macilaci redan skrivit, $P_s$ och $P_f$ representerar inte x- respektive y-axel. De är inversen av hur mycket av vad för hur mycket pengar.

$F$ har enheten kg.

$P_f$ har enheten Euro/kg

Alltså kan du inte betrakta $P_f$ som lika med $F$ på något vis. Den ena är invers av den andra. Alltså, du har:

$F = M_b/P_f$

Där $M_b$ är någon summa du betalar med. 

Tack för ditt svar!

Jag ska ta kort och klippa ut det viktigaste lite senare. Jag ska försöka ta med bara det mest nödvändiga. Det är en hel del text, nämligen.

Ni har verkligen gett mig något att tänka på när ni säger att P_f och P_s inte representerar y- respektive x-axeln. Jag förstår det inte, men jag förstår att det är där som jag måste lägga krutet för att komma vidare.

Vad menas med "inversen" i det här fallet, förresten? :)

Viktig notis

Du eller boken har skrivit fel då det måste vara så här:

$P_S= €5/m^2$

$P_F=€10/kg$

Dessa är helt enkelt priset för de olika sakerna.

Vad menas med inversen?

Föreställ dig att du köper 20 st tuggummin för 10 kr då får du:

$P_{tugg} = \dfrac{10 \ kr}{20 \ st} = 0,50 \ kr/st$

Här har du förhållandet mellan antalet tuggummin $N$, pengarna du betalade $m$ och priset $P_{tugg}$ som:

$P_{tugg} = \dfrac{m}{N}$

Alltså, för en viss mängd pengar har du inverterat förhållande mellan pris och antal tuggummin du kan köpa. Föreställ dig att du inte vet priset men har 10 kr, då förstår du att ju fler du kan köpa (om N är större) ju billigare är varan. Detta betyder att du har ett inverterat/reciprokt förhållande mellan variablerna. 

Du har nämligen påstått hela tiden att du har direkt proportionalitet mellan pris och mängd av en köpesak men det har du inte, det är omvänd proportionalitet (annars reciprokt förhållande).

Vad beskriver lutningen?

Lutningen på kurvan är $k=\Delta F/\Delta S$ vilket beskriver:

"Om jag ändrar $S$ med 1, hur mycket ändras $F$ då?"

Alltså, om du köper en mer/mindre kvadratmeter i veckan; hur mycket mer/mindre mat kan du då köpa?

Härleda lutningen enligt resonemang

Om du jämfört med föregående vecka köper en extra kvadratmeter husrum för $P_S\times 1\ m^2 =€5$ kommer mängden pengar du kan lägga på mat den nuvarande veckan vara exakt $€5$ mindre än förra. Detta betyder att du nu kan köpa:

$\dfrac{P_S\times 1\ m^2}{P_F }=\dfrac{€5}{€10 /kg}= 1/2 \ kg$ mindre mat.

Alltså måste lutningen vara $k=-1/2$.

Härleda lutningen enligt matematisk definition

Föreställ dig att du lägger en viss mängd pengar på husrum $M_S$, antal kvadratmeter per vecka $S$ har då detta beroende:

$S = \dfrac{M_S}{P_S}$

Från vecka till vecka är priset konstant och det som förändras är mängden pengar du spenderar, vi får:

$\Delta S = \dfrac{\Delta M_S}{P_S}$

På samma sätt för mängden mat:

$\Delta F = \dfrac{\Delta M_F}{P_F}$

Här har du att $\Delta M_S+ \Delta M_F= 0$ vilket kan förstås baserat på exemplet under förra rubriken (+€5 husrum ger -€5 mat). Vi får:

$\Delta M_S= -\Delta M_F$

Ser du vad lutningen $k=\Delta F/\Delta S$ blir lika med om du beräknar den?

Lemonhead_1900 skrev:

Får nog försöka ragga upp en mattelärare som kan visa mig på papper i person. Det känns som att jag bara rör till alltihop!

Bor du så att du kan besöka någon av Mattecentrums fysiska räknestugor?

Har du annars prövat någon av våra digitala räknestugor, det vi kallar Livehjälpen?

För övrigt håller jag med Ebola, om du laddar upp bilder på uppgift och sammanhang så slipper vi gissa baserat på andrahandsinformation, vilket spar tid både för dig och oss och dessutom minskar risken för att du blir ledd åt fel håll.