Räta linjen på allmän form: Ax+By+C=0 (Matematik/Matte 2)

Sivannna skrev:
Hej!
Har kört fast på uppgiften nedan, nån som kan hjälpa till?
Bestäm konstanten A så att linjerna Ax+5y+C=0 och 2x+4y+D=0 blir parallella.

Tack på förhand.

Hur har du försökt själv?

Vad gäller för parallella linjer?

Vet bara att parallela linjer har samma lutning (k-värde), men hur börjar jag?

Sivannna skrev:
Vet bara att parallela linjer har samma lutning (k-värde), men hur börjar jag?

Bra. Hur hittar du k-värdet i ett linjärt samband mellan x och y?

För varje steg vi går åt höger i x-led så stiger eller faller lutningen i y-led.

Sivannna skrev:
För varje steg vi går åt höger i x-led så stiger eller faller lutningen i y-led.

OK om vi säger så här: Vilka k-värden hittar du till exempel i sambanden:

y = 3x + 2
y = x/2 - 4
y = -x + 12

1. k = 3

2. k = 0,5

3. k = -1

Sivannna skrev:
1. k = 3
2. k = 0,5
3. k = -1

Rätt. Om sambanden alltså är skrivna på "k-form", dvs på formen y = kx + m så är det lätt att identifiera lutningarna.

Men de två sambanden i uppgiften är inte skrivna på den formen utan på en allmän form ax + by + c = 0.

Tänk vad enkelt det skulle vara om de vore skrivna på "k-form" ...

Jag testar att omvandla ena Ax+5y+C=0 till k-form:

Ax+5y+C= 0 (flyttar ax och C till andra sidan likhetstecknet)

5y+ C= -Ax

5y= -Ax - C

Sen kör jag det andra:

2x+4y+D=0 ((flyttar 2x och D till andra sidan likhetstecknet)

4y = -2x - D

Kan detta bli rätt eller är jag helt ute och cyklar?

k-värdet är 2

Sivannna skrev:
k-värdet är 2

Nej, k-värdet är inte 2. Du har kommit fram till att 4y=-2x-D. Du behöver dividera med 4 för att få y ensamt. Vilket blir k-värdet?

Just det, k-värdet blir -0,5x. Står bokstaven D för m-värdet då?

Nej, m=-D/4.

Hej!

Du kan skriva räta linjens ekvation $y=kx+m$ som

$kx-y+m=0.$

Om du jämför detta med räta linjens ekvation på så kallad allmän form

$Ax+By+C=0$

ser du att $A=k$ och $B=-1$ och $C=m.$

Jag får fram y=0,5x - D/4 till slut men jag förstår verkligen inte hur jag får fram konstanten A i den andra allmänna formen.

För att man ska kunna läsa av vad $k$ och $m$ är i den allmäna ekvationen måste $B$ vara lika med $-1$ . Vad händer om $B$ inte är lika med $-1$ ? Vad är $k$ och $m$ hos ekvationen $2x+3y+4=0$ ?

Dividera ekvationen med talet $-3$ ; det är tillåtet och ekvationen ändras inte. Då får man

$2x+3y+4=0 \iff \frac{2}{-3}x+(-1)y+\frac{4}{-3} = 0.$

Här är nu $B = -1$ och man kan läsa av k-värdet $k = -\frac{2}{3}$ och m-värdet $m = -\frac{4}{3}$ så att den räta linjens ekvation är

$y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}.$

Men vad händer om det förekommer två okända tal?

Den andra allmänna formen i problemlösningen är Ax+5y+C=0 där är både x och c är ett okänt tal.

Hur gör jag då?

Skriv om den ekvationen också på formen y=kx+m. Du har skrivit tidigare att två linjer är parallella om de har samma k-värde. Hur kan du använda dig av detta?

Precis då blir det..

Ax+5y+C= 0 (flyttar ax och C till andra sidan likhetstecknet)

5y+ C= -Ax

5y= -Ax - C

y= -0,5x - C/5

är då konstanten A= -0,5x?

Sivannna skrev:
Precis då blir det..
Ax+5y+C= 0 (flyttar ax och C till andra sidan likhetstecknet)
5y+ C= -Ax
5y= -Ax - C
y= -0,5x - C/5
är då konstanten A= -0,5x?

Nej det är fel. Gör så här:

$5y=-Ax-C$

Dividera båda sidor med 5:

$\frac{5}{5}=-\frac{Ax}{5}-\frac{C}{5}$

Förenkla vänsterledet:

$y=-\frac{A}{5}x-\frac{C}{5}$

Det här är rätt:

5y= -Ax - C

men det här är fel

y= -0,5x - C/5

Vad blir det när man dividerar -A x med 5? Vilket blir alltså k-värdet?

Det blir -A/5x, det är ju konstanten A jag vill få ut, men i min värld är det bara en bokstav, hur kan jag dividera den då?

Sivannna skrev:
Det blir -A/5x, det är ju konstanten A jag vill få ut, men i min värld är det bara en bokstav, hur kan jag dividera den då?

Nej k-värdet är inte -A/5x, k-värdet är koefficienten framför x, dvs -A/5.

Gör nu på samma sätt för det andra sambandet, dvs 2x + 4y + D = 0.

Vad har detta samband för k-värde?

K-värdet ska ju vara desamma eftersom linjerna är parallella.

Så k-värdet för det andra sambandet blir också -0,5?

Sivannna skrev:
K-värdet ska ju vara desamma eftersom linjerna är parallella.
Så k-värdet för det andra sambandet blir också -0,5?

Ja. Och samtidigt är det -A/5. Då kan du räkna ut A.

Hur räknar jag ut det?

-0,5 och -A/5, men konstanten A är fortfarande okänt?

Sivannna skrev:
Hur räknar jag ut det?
-0,5 och -A/5, men konstanten A är fortfarande okänt?

-0,5 = -A/5

Sådana ekvationer har du löst förut.

Jag multiplicerar båda leden i ekvationen med -5.

Stort tack för hjälpen alla involverade.