Ränta och gränsvärde

Hej! Jag har en uppgift och jag tror att jag har löst stora delar av den. Dock skulle jag uppskatta om någon tog sig tid för att kolla om det kan stämma och hjälpa mig med den slutgiltiga tolkningsdelen där jag ska dra en slutsats av resultatet. Oerhört tacksam för all hjälp jag kan få!

Uppgift

Undersök gränsvärdet

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}$ och använd sedan resultatet för att visa följande

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{p}{n})^{n} = e^{p}$ där n är tiden och p är räntesatsen.

Vilka slutsatser kan man dra av beräkningarna?

Min lösning

Jag provade med att använda ett högt värde för n, i detta fall n=100 000.

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{100000})^{100000} = e (e l l e r 2, 72 m e n m e r e x a k t v ä r d e t a v e)$

Därefter gick jag vidare med beviset enligt följande steg

$(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n})^{p} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n p}$

np ersätts med x istället vilket ger följande

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{x}$

Därefter utförs ett variabelbyte enligt följande

$x = n p \Rightarrow n = \frac{x}{p} \Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{p}{x}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{p}{x})^{x} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{p}{n})^{n}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{p}{n})^{n} = e^{p}$

Min fråga är, är detta rätt och vilka slutsatser kan man dra av beräkningarna?

Väldigt tacksam för svar!

Om räntan räknas in n gånger per år blir tillväxtfaktorn på ett år ...

Om den räknas in kontinuerligt blir tillväxtfaktorn ...

Henrik Eriksson skrev :
Om räntan räknas in n gånger per år blir tillväxtfaktorn på ett år ...
Om den räknas in kontinuerligt blir tillväxtfaktorn ...

Om räntan räknas in kontinuerligt blir tillväxtfaktorn också kontinuerlig, eller? Tacksam för svar!

Nej, tillväxtfaktorn blir ett tal. Om räntesatsen är p, vilken blir tillväxtfaktorn om räntan beräknas kontinuerligt? (Du har redan räknat ut de!)

smaragdalena skrev :
Nej, tillväxtfaktorn blir ett tal. Om räntesatsen är p, vilken blir tillväxtfaktorn om räntan beräknas kontinuerligt? (Du har redan räknat ut de!)

Hej! Har klurat på det här under dagen och kom fram till $K e^{p}$ , där K är ett godtyckligt kapital och p är räntesatsen. Men vad symboliserar då e i detta sammanhang och vad hur kan man förklara $K e^{p}$ egentligen (förutsatt att $K e^{p}$ är ett korrekt svar på frågan förstås)?

Tack på förhand!

e = 2,718281828massaflersiffror. Du bevisade ju detta redan i ditt förstainlägg! Om du (mot förmodan) skulle hitta en bank som går med på att ränteräkna hela tiden (i stället för 1 gång/år) så skulle du bli rik, bara räntan är större än 0!

Tusen tack för alla hjälp! :)

Svara

Visa senaste svar