Rang

Mer inzoomad bild ovan.

Jag ser när jag börjar om från början med a=0 att rangen är 3, men bör man inte kunna se det från matrisen ovan om man räknar antalet pivåvariabler? 

Pivotelement kallas det första nollskilda elementet på en rad.

Pivotelementet på första raden är $(1-a)$. Det blir ju noll då $a=1$, då blir första radens pivotelementet istället 3. Total blir pivotelementen alltså (3,1,-1) i det här fallet.

Pivotelementet på andra raden är $(3a)$. Det blir ju noll då $a=0$, då blir andra radens pivotelement istället -5. Total blir pivotelementen alltså (1,-5,-2) i det här fallet.

Pivotelementet på tredje raden är $(a-2)$. Det blir ju noll då $a=2$, en rad med bara nollor saknar pivotelement. Total blir pivotelementen alltså (-1,6) i det här fallet.

Sammanfattningsvis har matrisen 3 pivotelement (rang 3) förutom då $a=2$, då matrisen bara har 2 pivotelement (rang 2).

En annan viktig sak att komma ihåg är att

Rangen för en matris  är antalet pivotelement då den står på trappstegsform (du måste alltså fortfarande kunna byta plats på dina rader och eventuellt gausseliminera igen för att erhålla trappstegsformen och få tillämpa regeln).

I det här fallet blir det ju trivialt så eftersom vi bara har 3 rader och byter ut en rad i taget, men det behöver inte alltid vara så.

Är du med?

Men i ditt tredje stycke är väl pivåelementen -5 och -2 båda kopplade till x₃? Min gissning är att då a=0 är det ännu inte skrivet på trappstegsform?

Just det,  då $a=0$ ser din matris ut så här:

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right)$

Och den har förvisso pivotelementen $1,-5,-2$, men den är INTE på trappstegsform, du kan alltså inte genast säga att den har rang 3, däremot inser man någorlunda trivialt att den får 3 pivotelement på trappstegsform. Du kommer ju få ett element i fjärde kolonnen om du utför en eliminering av -2.

Edit: Nu tror jag att jag förstår vad du menar med $x_3$ :)