Randvinkelsatsen uppgift b

Titta på vinklarna i AMB och BMD. Är du med på att dessa trianglar båda är likbenta?

Menar du vinkeln BAC, när du skriver vinkeln A? Menar du vinkeln ABC, när du skriver vinkeln B? De står inte på samma båge - om vinkeln BAC står på vinkeln v så står vinkeln ABC på vinkeln 360^o-v.

EDIT: Feltänkt, se nedan.

Jag förtydligar min fråga. Varför är dessa vinklar inte lika stora trots att de har samma cirkelbåge

Vinklarna vid A och B är inte randvinklar på bågen AB. Vinkeln vid C är randvinkel på bågen AB. 

solskenet skrev:

Jag förtydligar min fråga. Varför är dessa vinklar inte lika stora trots att de har samma cirkelbåge

Nej, du förtydligar inte - du markerar tre obestämda vinklar coh frågar varför två av dem (okänt vilka) inte är lika.

Vinkeln BAC står på bågen BC. Vinkeln ABC står på bågen AC. Det står inte i uppgiften att dessa bågar skule vara lika, det syns tvärtom tydligt i uppgiftsbilden att de är olika.

solskenet skrev:

Hej! 

Jag undrar varför vinkel A och B inte är lika stor som vinkel C? De utgår ju från samma rand/cirkelbåge och har en gemensam mittpunkt M. Varför är vinkel A, B inte samma som C? Det är ju randvinkelsatsen? 

Nej randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln.
Så vinkel AMB är i fråga a) 100^o 

Du har en likbent triangel i AMB eftersom du har två sidor som är lika långa som radien. Då kan du räkna ut de två andra vinklarna i  triangel AMB

Se upp med att de har inte ritat rätt längd och rätt vinklar. t.ex. ser man att vinkel AMB inte borde vara 100^o, men det vet vi ju att den är tack vare randvinkelsatsen. 

Hoppas att det hjälper!

jag förstår fortfarande inte hur jag ska tänka vad gäller b frågan. Hur kan vinkeln MAB inte vara like med vinkel ACB? när gäller det samabndet att 2 vinklar blir lika stora om de har samma start- och ändpunkt på cirkelbågen

solskenet skrev:

jag förstår fortfarande inte hur jag ska tänka vad gäller b frågan. Hur kan vinkeln MAB inte vara like med vinkel ACB? när gäller det samabndet att 2 vinklar blir lika stora om de har samma start- och ändpunkt på cirkelbågen

Ja det stämmer, men observera att mittpunktsvnkeln M är dubbelt så stor som x. Det säger också randvinkelsatsen om du läser på.

Vilket innebär att du kan räkna ut de två andra vinklarna i triangel ABM. Tips $\frac{180-\left(2x\right)}{2}$

solskenet skrev:

jag förstår fortfarande inte hur jag ska tänka vad gäller b frågan. Hur kan vinkeln MAB inte vara like med vinkel ACB? när gäller det samabndet att 2 vinklar blir lika stora om de har samma start- och ändpunkt på cirkelbågen

Se till att göra uppgift a innan du börjar med uppgift b. Det går inte att lösa uppgift b förrän man har fått uppgift a rätt.

Vinkeln MAB når inte fram till cirkeln, så där kan vi inte använda randvinkeln. Däremot är vinkeln MAB lika med vinkeln MBA, eftersom den triangeln är likbent. Du kan räkna ut vinkeln AMB (ConnyN har hjälp dig med det), så du kan även beräkna vinklarna MAB och BMA med hjälp av vineklsumman för en triangel.

Så här löste jag uppgift a. 

om x = 50 grader Då är vinkeln AMD = 100 grader. 
vi vet att vinkeln AMB är 60 grader, det är en liksidig triangel. Vi tar skillnaden 100-60=40 grader.

Vi beräknar vinkeln MBD . 180-60=120 grader. 

180-120-40=y

y= 20 grader 

Hur gör jag i b?

solskenet skrev:

Så här löste jag uppgift a. 

om x = 50 grader Då är vinkeln AMD = 100 grader. 
vi vet att vinkeln AMB är 60 grader, det är en liksidig triangel. Vi tar skillnaden 100-60=40 grader.

Vi beräknar vinkeln MBD . 180-60=120 grader. 

180-120-40=y

y= 20 grader 

 

Hur gör jag i b?

Det är inte AMD som är 100 grader. Det är AMB. Se mitt inlägg. Där får du också ett tips på hur du börjar med b)

fattar inte varför det är AMD, varför är det inte hela vinkeln som räknas dvs hela AMD istället för AMB?

solskenet skrev:

fattar inte varför det är AMD, varför är det inte hela vinkeln som räknas dvs hela AMD istället för AMB?

Om du tittar på bilden så ser du att triangel ABC och triangel ABM har "fötterna" på samma ställe på cirkeln.

Det är grundförutsättningen för randvinkelsatsen. Eller hur?

okej, men hur kan det komma sig att vinklarna i triangeln AMB inte är lika stora? Det är ju en liksidig triangel med vinklarna 60 grader. 

solskenet skrev:

okej, men hur kan det komma sig att vinklarna i triangeln AMB inte är lika stora? Det är ju en liksidig triangel med vinklarna 60 grader. 

Nej! Det är lurigt med bilden. Vinkel x är ungefär 30 grader och vinkel M är ungefär 60 grader.

Nu har de däremot ett exempel där $x={50}^{°}$och då blir $M=2·{50}^{°}$eftersom randvinkelns och mittpunktsvinkelns ben möts i punkt A och punkt B

Är du med på det?

Edit: Misstag borttaget

Nja.. Inte direkt. Hur kan man bevisa att de nt är lika stora?hur ska man göra om bilden luras

solskenet skrev:

Nja.. Inte direkt. Hur kan man bevisa att de nt är lika stora?hur ska man göra om bilden luras

Randvinkelsatsen säger att mittpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln och som jag skrev så gäller det för bilden, men också för vår lite större randvinkel som är 50 grader.

Uppgiften är gjord som en trestegsraket.

1)  Man har ritat en figur som har ungefär dessa vinklar.

2)  Sedan kommer vi till uppgift a)  som frågar "Om vinkeln $x$ är 50^o ...
      Där har vi alltså en ny förutsättning. Rita gärna den bilden så du får lite begrepp om vad en randvinkel och en mittpunktsvinkel är.

3)  I uppgift b)  vill man att du ska sätta upp ett samband oavsett vilken randvinkel du än .väljer för $x$ mellan noll och nittio grader.

Är du med nu då?

Du menar att vinkel AMB är mittpunktsvinkel därför att triangeln AMB har samma start och slutpunkt i cirkelbågen.. Dvs båda börjar vid vinkeln BAM och ABM 

solskenet skrev:

Du menar att vinkel AMB är mittpunktsvinkel därför att triangeln AMB har samma start och slutpunkt i cirkelbågen.. Dvs båda börjar vid vinkeln BAM och ABM 

Om vi släpper det där med trianglar tills vidare och bara ser det som två vinkelben.
Så den vinkel som är viktig i den här uppgiften är vinkel $\mathit{x}$
Den kallas randvinkel och har två ben som landar i A och B

Om du då drar två ben från mittpunkten till A och B så blir den vinkeln automatiskt dubbelt så stor som randvinkeln.
Du kan prova själv. Om du håller dig inom 90 grader så kan du rita randvinklar från jättesmala till väldigt nära 90 grader och där deras ben landar kan du dra två linjer till mittpunkten och den vinkeln är alltid dubbelt så stor och den kallas mittpunktsvinkeln.

Se mittpunktsvinkeln som en följd av randvinkeln i det här fallet.

Hur är det? Får du någon hjälp av det här?

Tack Conny! 

Men jag har fortfarande svårt att förstå varför vinklarna MAB och MBA inte är lika stora som vinkeln AMB? Det är lite förvirrande

solskenet skrev:

Tack Conny! 

 

Men jag har fortfarande svårt att förstå varför vinklarna MAB och MBA inte är lika stora som vinkeln AMB? Det är lite förvirrande

I bilden där $x={30}^{°}$stämmer det bra. Då får vi en liksidig triangel med alla tre vinklarna som ${60}^{°}$

Om du ritar en randvinkel med $x={50}^{°}$vad händer då?

Jo mittpunktsvinkeln blir ${100}^{°}$och vinklarna vid A och B i triangeln som nu är likbent, men inte liksidig, har ${80}^{°}$att dela på.

Är du med på det också nu?

Man får alltså testa sig fram och undersöka ifall triangeln är liksidig innan man drar slutsatsen..:)

solskenet skrev:

Man får alltså testa sig fram och undersöka ifall triangeln är liksidig innan man drar slutsatsen..:)

Ja så kanske man kan säga, men viktigt att du förstår att i det här fallet med en randvinkel med $x^{°}$så finns bara en situation där det kan inträffa och det är när den är ${30}^{°}$

Ingen annan vinkel än ${30}^{°}$på randvinkeln kan ge mittpunktsvinkeln ${60}^{°}$

Då är vi redo för nästa steg, att se hur stora vinklarna vid A och B blir.

Ser du vad du kan ha för nytta av att veta hur stor B är?
Om vi tittar på triangel MBD så ser du kanske att vinkel B i triangel ABM avslöjar storleken på vinkeln B i triangel MBD?

Kanske det blev mycket information nu? Säg till i så fall.

solskenet skrev:

Tack Conny! 

 

Men jag har fortfarande svårt att förstå varför vinklarna MAB och MBA inte är lika stora som vinkeln AMB? Det är lite förvirrande

Vinklarna MAB, MBA och AMB är de tre vinklarna i triangeln ABM. Det är endast om denna triangel är liksidig som de tre vinklarna är lika.

om x är tex 30 , då är a 60 då är vinkeln A och B i triangeln ABM 60 . (120 tsm)

om x är tex. 45 , då är a 90 , Vinklarna A och B i triangeln AMB blir 45 (90 tsm) 

om x är tex 27, då är a 54, vinklarna A och B tillsammans (126)

Men hur kan man se att de är lika stora? 

solskenet skrev:

om x är tex 30 , då är a 60 då är vinkeln A och B i triangeln ABM 60 . (120 tsm)

om x är tex. 45 , då är a 90 , Vinklarna A och B i triangeln AMB blir 45 (90 tsm) 

om x är tex 27, då är a 54, vinklarna A och B tillsammans (126)

 

Men hur kan man se att de är lika stora? 

Ja det ser mycket bra ut!
Jag reagerar lite på att du använder lilla a till Medelpunktsvinkeln, men det gör man ju som man vill med.

Att de blir lika stora beror på att triangeln är likbent. Längden är ju en radie på benen som går från mittpunkten till punkt A och punkt B.

Det får du också nytta av i triangeln MBD eftersom sträckan BD också är en radie lång.

Om vi sammanfattar läget nu så vet du att $X={50}^{°}$och mittpunktsvinkeln är ....
Du vet också hur stor vinkeln MBA är och då kan du ta reda på vinkel MBD

Är du med på det?

Om x är 50 Då är mittpunktsvinkeln AMB = 100

då blir vinkeln A + B = 80 

då är A=B=40 grader .. Du menar så väl? :)

solskenet skrev:

Om x är 50 Då är mittpunktsvinkeln AMB = 100

då blir vinkeln A + B = 80 

då är A=B=40 grader .. Du menar så väl? :)

 

Ja precis!!! Nu skulle jag vilja haft lite raketer och glada gubbar här, men du får föreställa dig dom :-)
Nu som sagt kan du fundera på den stora vinkeln i triangel MBD

Vad skulle man kunna använda där tror du?

Tackar dig verkligen för din hjälp Conny N ! :))

Om vinkeln AMB är 100, då är Vinklarna MAB = 40 och MBA=40. 

Det betyder att vinkeln DBM är 180-40=120 grader

solskenet skrev:

Tackar dig verkligen för din hjälp Conny N ! :))

Om vinkeln AMB är 100, då är Vinklarna MAB = 40 och MBA=40. 

Det betyder att vinkeln DBM är 180-40=120 grader

Nja du tänker helt rätt, men 180 - 40 = ....
Bravo! Kan du nu räkna ut de två andra vinklarna i MBD?

Eftersom att MB går igenom mittpunkten i cirkeln , och BD också är en ”radie” då är sidorna MB=BD. Vilket betyder att det är en likbent triangel men 2 lika stora vinklar. 120+ 2y=180 

2y=60

y=30  grader 

solskenet skrev:

Eftersom att MB går igenom mittpunkten i cirkeln , och BD också är en ”radie” då är sidorna MB=BD. Vilket betyder att det är en likbent triangel men 2 lika stora vinklar. 120+ 2y=180 

2y=60

y=30  grader 

Nja det gick lite fort där.

Missade du min förra kommentar 180 - 40 = ....      Tips det blir inte 120 :-)  (Smileys pga. att jag förstår att du bara missade det i ivern)

jag har slarvat ordentligt :)! Tack för din tålamod :)))

jag tar det från början

Om vinkeln AMB är 100, då är Vinklarna MAB = 40 och MBA=40. 

Det betyder att vinkeln DBM är 180-40=140 grader

140+2y=180

y=20 grader

Ja där satt den!!!

Nu kan du börja med b) och då får du en snabb start om du utnyttjar det jag skrev tidigare att

vinkel MBA kan skrivas  $\wedge MBA=\frac{{180}^{°}-\left(2x\right)}{2}$(Tips den går att förenkla)

Hur kom du fram till formeln (180-2x/2) ? :)

solskenet skrev:

Hur kom du fram till formeln (180-2x/2) ? :)

Vi har $x=x^{°}$det är vår variabel.

$M=2·x^{°}$där M är mittpunktsvinkeln

Om vi då tittar på  $∆ABM$så konstaterade vi redan förut att den är likbent och att  $\wedge MAB och \wedge MBA$är lika stora.

Alltså vet vi att summan av de två är  ${180}^{°}-2x^{°}$
För att få veta hur stor var och en är så dividerar vi det resultatet med 2 och det är det den formeln säger.

I nästa steg kan du ställa upp villkoret för  $\wedge MBD i triangel MBD$(Den du tog fram med regeln för sidovinklar)

Okej. Alltså randvinkeln är x . Mittpunkten M är 2x.  Vinklarna MAB och MBA är (180-2x)/2 = 90-x. 
vinkeln B blir 180 -(90-x)= 180-90+x= 90+x 

eftersom att sträckan BM och BD är radier så är de lika långa och har lika stora vinklar. 

y+y+90+x=180 

2y = 90 -x 

y= 45 - x

solskenet skrev:

Okej. Alltså randvinkeln är x . Mittpunkten M är 2x.  Vinklarna MAB och MBA är (180-2x)/2 = 90-x. 
vinkeln B blir 180 -(90-x)= 180-90+x= 90+x 

eftersom att sträckan BM och BD är radier så är de lika långa och har lika stora vinklar. 

Ja kanonbra!

y+y+90+x=180 

2y = 90 -x

Så långt helt rätt!

Bara det lilla sista blev lite galet. När vi har 90-x måste bägge termerna delas med 2. Alternativt (90-x)/2 som kanske ser bättre ut?

Grattis det tog sig bra mot slutet. Det var trevligt att hjälpa dig och få så bra respons!

(90-x)/2 = 45 +0,5x

y= 45-0,5x

Tack så jätte mycket! Uppskattar all din tid och hjälp! :))))))