Randvinkelsatsen — tangenter
Hoppas bilden inte blev alltför otydlig... sidorna AB och AC är tangenter till cirkeln. Uppgiften är att bestämma vinkeln v. Jag vet dock inte riktigt hur jag ska börja (förstår inte riktigt hur jag ska applicera randvinkelsatsen på det här problemet). Skulle någon kunna hjälpa?
Tack på förhand! :)
Rita in tangenterna i punkt B och C. De möts i cirkelns centrum. Kommer du vidare?
När jag drar linjer från tangenterna så ser jag att vinklarna som ligger utanför den lilla fyrhörningen som bildas blir 90° (eftersom vinkeln i tangeringspunkten bildar en rät vinkel)... men hur kommer jag vidare från detta? Finns det något sätt att se värdet på vinklarna inuti fyrhörningen?
Eftersom tangenterna samt linjerna som dras från tangenterna genom mittpunkten är parallella (eftersom vinkeln i respektive tangeringspunkt är vinkelrät) så kommer de aldrig att mötas, och därför blir inte medelpunktsvinkeln (till cirkelbågen som bildas mellan linjerna jag dragit) dubbelt så stor som spetsvinkeln (alltså den vinkel som på bilden är 80°). Visst stämmer det?
...alltså vet jag inte riktigt hur jag ska komma vidare. Hittar ingen följdsats till randvinkelsatsen som funkar.
Dra en linje från cirkelns centrum M till punkten A. Den delar vinkeln A i två lika delar. Nu vet du två vinklar i triangeln ABM och kan beräkna den tredje. Kommer du vidare?
Eftersom tangenterna samt linjerna som dras från tangenterna genom mittpunkten är parallella (eftersom vinkeln i respektive tangeringspunkt är vinkelrät) så kommer de aldrig att mötas, och därför blir inte medelpunktsvinkeln (till cirkelbågen som bildas mellan linjerna jag dragit) dubbelt så stor som spetsvinkeln (alltså den vinkel som på bilden är 80°). Visst stämmer det?
Nej.
Tack!
Jag drog en linje från varje tangeringspunkt, samt en linje som gick genom halva cirkeln, och kunde då räkna ut ∠AMB till 50°, vilket gav att ∠BMC = 100°. Sen drog jag två nya linjer från tangeringspunkterna, så att det bildades en randvinkel till medelpunktsvinkeln ∠BMC. Denna randvinkel fick, enligt randvinkelsatsen, värdet 50°. Enligt följdsatsen som säger att motstående vinklar till en fyrhörning i en cirkel har värdet 180° kunde jag räkna ut att ∠v var 130° (180° - randvinkeln som blev 50°).
Och 130° är rätt svar. Så tack för hjälpen :)
