Randvärdesproblem, hjälp med förståelse

Det känns som du missförstår hur problemet ser ut. Det finns ingen tid i problemet som jag förstår det. Utan det du har är ett intervall på x-axeln 0 till 8 och mellan dessa har du någon lösning, så x kan ses som en spatiell dimension och y skulle man kanske kunna tolka att den har någon storhet, exempelvis temperatur.

Så här skulle man nog ersätta $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ med $\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}$ (om jag inte råkar missminna mig här, men det bör du enkelt kunna verifiera med taylor utvecklingar). Så ekvationen du får är

$\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}=2x_n(y_n-2), 1 \le n \le N - 1$

och

$y_o=10, y_N=8$

Yes, menade $x_0$ och $x_{slut}$, förlåt.

Men hur verifierar jag att $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}$ med taylorutveckling? Jag kan verifiera att $\frac{dy}{dx}\approx \frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ relativt enkelt med taylor-utveckling, men jag har ingen aning hur jag bär mig åt för andraderivatan, hur gör man då?

Spelar det ingen roll om det är framåt-, bakåt- eller centraldifferens om jag ska göra en härledning till ett randvärdesproblem?

En till grej också, hur går jag från t.ex. $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ till $\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}$? Det känns inte så självklart för mig.

Tack för att du tar dig tid och svarar.

Det kan spela roll om du går åt vänster,höger eller i centrum med derivatan, men i detta fall så är det ju andra derivatan så då är det är nog alltid vettigast att ta det i centrum.

Du har att

$$\begin{gathered} y\left(x_{n-1}\right) =\hspace{0.17em}y(x_n-h) = y\left(x_n\right) - hy\text{'}\left(x_n\right) + \frac{h^2}{2!}y\text{'}\text{'}\left(x_n\right)+O\left(h^3\right), samt \\ y\left(x_{n+1}\right) =\hspace{0.17em}y(x_n+h) =\hspace{0.17em}y\left(x_n\right) + hy\text{'}\left(x_n\right) + \frac{h^2}{2!}y\text{'}\text{'}\left(x_n\right) + O\left(h^3\right) \end{gathered}$$

Så detta ger att

$\frac{y_{n-1}+y_{n+1}-2y_n}{h^2}=\frac{h^{2}y\text{'}\text{'}\left(x_n\right) + O\left(h^3\right)}{h^2}=y\text{'}\text{'}\left(x_n\right)+O\left(h\right)$

(Om man utvecklar längre så kan man se att man får O(h^2))

Så detta innebär alltså att uttrycket $\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}$ approximerar andraderivatan i punkten x_n.

Hmm, tror jag förstår nu.

Fortf. lite svårt med hur man ser att $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{{\displaystyle y_{i+1}-y_{i-1}}}{2h}$, ska man tänka på $h$ som ett av delintervallen då?

ja du ska tänka på h som längden på ett delintervall. Man har att intervallen delas vid $x_0,x_1,x_2,x_3,...$ så dessa ligger med avståndet h mellan varandra. Om man också har att $f\left(x_i\right)=y_i$ så gäller det att $\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}=\frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i-1}\right)}{2h}=\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}$.

Tack, då förstår jag!