Räkning med integraler
"I en stad anser man att befolkningstätheten f(x) tusen invånare per kvadratkilometer varierar enligt funktionen f(x)= 30*e-0,2x där x km är avståndet till centrum. Hur många personer bor inom en radie av 4 km räknat från centrum?"
Någon som skulle kunna hjälpa mig med denna? Min första tanke var att man skulle kunna lösa uppgiften genom att beräkna fyra olika cirkelareor (alla med ringbredden 1 km men de olika areorna blir olika stora pga olika omkretser eftersom ringarna är olika långt från centrum). Sen använder man sig utav den givna funktionen f(x) och beräknar hur många invånare det bor i cirkel 1, cirkel 2 osv och summerar sedan dessa.
Men mer exakt än så vet jag inte hur jag skulle gå tillväga, och när jag kollat runt på nätet hur andra har löst uppgiften, inklusive här på pluggakuten, så ser jag att de har använt sig utav en helt annan lösning, men den förstår jag inte heller. Tydligen ska man ta integralen utav (f(x) multiplicerat med en cirkels omkrets där radien är x), dvs att Befolkningen= integralen av (30*e-0,2x*2pix)dx, där integrationsgränserna är 0-4. Förstår verkligen inte hela det här tänket med dessa ringar och varför delta-x blir dx när delta-x går mot 0 i 2pix*delta-x.
Funktionen f ska ge ant tusen invånare per km2 vid avståndet x from centrum. Då är alltså f(4) = ant tusen/km2 inom 4 km från centrum. Återstår att räkna ut hur många km2 som området har. Och området är en cirkel med radien 4 km. Kan du räkna ut arean på denna cirkel? Läst så här behövs ingen integral.
Tomten skrev:Funktionen f ska ge ant tusen invånare per km2 vid avståndet x from centrum. Då är alltså f(4) = ant tusen/km2 inom 4 km från centrum. Återstår att räkna ut hur många km2 som området har. Och området är en cirkel med radien 4 km. Kan du räkna ut arean på denna cirkel? Läst så här behövs ingen integral.
Tyvärr funkar inte den här metoden, eftersom tätheten varierar med radien.
Integral är rätt sätt.
Du var på rätt väg när du tänkte dela upp arean i olika ringar.
Felet du gjorde var att nöja dig med 4 och låta dem vara 1 km breda.
Lösningen är i ställer att dela upp ytan i en massa ringa med bredden dx km.
När dx går mot noll blir ytan av en sådan ring lika med cirkels diameter gånger dx.
D.v.s. 2pi*x*dx
Om vi multiplicerar med befolkningstätheten f(x) så får vi hur många
som bor i en infinitesimalt smal ring som befinner sig x km från centrum.
D.v.s. f(x)*2pi*x*dx
Kvar återstår nu bara integrera detta uttryck för att få fram hur många
som totalt sett bor i alla de infinitesimalt smala ringarna
som befinner sig mellan 0 och 4 km från centrum.
