Räkna ut volymen

Vilket steg är det du inte hänger med på?

Smaragdalena skrev:

Vilket steg är det du inte hänger med på?

 volymen har man räknat med 3 integraler, är det för att vi har 3 okända variabler x, y och z?
Första integral gränserna y^2 till 0 förstår jag inte riktigt hur man kom fram till det.

Det är alltid bra att rita upp det hela för att förstå:

Volymen som efterfrågas är den som innesluts mellan den röda ($z=y^2$) och den orangea ($xy$-planet) ytan.

Allmänt gäller att man kan få volymen av ett område genom att integrera $1$ över området. Alltså,

$\displaystyle V=\iiint_{B}1\ dxdydz$

I $z$-led definieras området av $z=0$ (orange i bilden) och $z=y^2$ (rött i bilden), alltså ska $z$ integreras från $0$ till $y^2$.

EDIT: Ett annat sätt att se det på (så här gör inte facit) är att en dubbelintegral ger volymen mellan ytan som beskrivs av en funktion och $xy$-planet:

$\displaystyle V=\iint_{D}$ $f(x,y)\ dxdy$

I vårt fall skulle vi då integrera funktionen $y^2$ (den röda ytan) över området (triangeln i facits figur):

$\displaystyle V=\iint_D y^2\ dxdy$

Detta ger samma integral som den andra metoden efter att man beräknat $z$-integralen.

AlvinB skrev:

Det är alltid bra att rita upp det hela för att förstå:

Volymen som efterfrågas är den som innesluts mellan den röda ($z=y^2$) och den orangea ($xy$-planet) ytan.

Allmänt gäller att man kan få volymen av ett område genom att integrera $1$ över området. Alltså,

$\displaystyle V=\iiint_{B}1\ dxdydz$

I $z$-led definieras området av $z=0$ (orange i bilden) och $z=y^2$ (rött i bilden), alltså ska $z$ integreras från $0$ till $y^2$.

EDIT: Ett annat sätt att se det på (så här gör inte facit) är att en dubbelintegral ger volymen mellan ytan som beskrivs av en funktion och $xy$-planet:

$\displaystyle V=\iint_{D}$ $f(x,y)\ dxdy$

I vårt fall skulle vi då integrera funktionen $y^2$ (den röda ytan) över området (triangeln i facits figur):

$\displaystyle V=\iint_D y^2\ dxdy$

Detta ger samma integral som den andra metoden efter att man beräknat $z$-integralen.

Tack!

hur visste man att integral gränserna för dx är mellan 1 till 0? och för dy är (1-x)/2 till 0? Om man inte har tillgång till grafen.

Om man inte har tillgång till 3d-grafräknare kan det vara svårt att kunna rita upp bilden jag visade, men vad man alltid kan göra är att rita upp hur området ser ut på $xy$-planet:

(Denna vy är ju ekvivalent med att vi står ovanför origo i $z$-led och tittar ned på $xy$-planet)

Med denna bild kan vi se att området ringas in i $x$-led av linjerna $x=0$ och $x=1$ och i $y$-led av linjerna $y=0$ och $y=\frac{1-x}{2}$. Därför blir dessa integrationsgränserna i $x$- respektive $y$-led.

EDIT: Likt din tidigare tråd kan man också i detta fall också ringa in området med andra funktioner, nämligen $x=0$, $x=1-2y$, $y=0$ samt $y=\frac{1}{2}$.

Dessa kan också användas som integrationsgränser, men då får man tänka på att integrera i $x$-led först (eftersom gränserna i $x$-led beror av $y$).