Räkna ut stångens tvärsnittsarea A(x)

Hej, jag undrar hur man ska lösa den här uppgiften. Jag tänkte först att man gör en ekvation för tyngden av allt nedanför punkten x och sedan dividerar med A(x) för att få spänningen. Då märkte att jag att man får primitiva funktionen av A(x) i täljaren (för att få volymen) och A(x) i nämnaren vilket jag inte vet hur man löser.

Svaret blir A(x)=A₀e^(x/L) enligt facit.

Jag vet inte riktigt hur långt du kommit, men det låter som att du kommit fram till att:

$\sigma=\dfrac{F_g}{A(x)}=\dfrac{mg}{A(x)}=\dfrac{\rho gV(x)}{A(x)}$

och då $\sigma=\rho gL$ erhålls:

$\cancel{\rho g}\cdot L=\dfrac{\cancel{\rho g}V\left(x\right)}{A(x)}$

$A(x)\cdot L=V(x)$

$\displaystyle A\left(x\right)\cdot L=A_0\cdot L+\int_0^x A\left(\ell\right)\ d\ell$

(jag har $\ell$ som integrationsvariabel för att inte blanda ihop $\ell$ och $x$ )

Härifrån gäller det att inse att det vi har faktiskt är en differentialekvation! Om vi deriverar båda led med avseende på $x$ får vi:

$A'\left(x\right)\cdot L=A\left(x\right)$

(derivatan av integralen blir ju $A(x)$ enligt analysens fundamentalsats)

Kan du lösa denna differentialekvation?

AlvinB skrev:
Jag vet inte riktigt hur långt du kommit, men det låter som att du kommit fram till att:
$\sigma=\dfrac{F_g}{A(x)}=\dfrac{mg}{A(x)}=\dfrac{\rho gV(x)}{A(x)}$
och då $\sigma=\rho gL$ erhålls:
$\cancel{\rho g}\cdot L=\dfrac{\cancel{\rho g}V\left(x\right)}{A(x)}$
$A(x)\cdot L=V(x)$
$\displaystyle A\left(x\right)\cdot L=A_0\cdot L+\int_0^x A\left(\ell\right)\ d\ell$
(jag har $\ell$ som integrationsvariabel för att inte blanda ihop $\ell$ och $x$ )
Härifrån gäller det att inse att det vi har faktiskt är en differentialekvation! Om vi deriverar båda led med avseende på $x$ får vi:
$A'\left(x\right)\cdot L=A\left(x\right)$
(derivatan av integralen blir ju $A(x)$ enligt analysens fundamentalsats)
Kan du lösa denna differentialekvation?

Grymt, tack så mycket! Är lite rostig på diffekvationer men ska försöka

Svara