Räkna ut residue

Serien för e^x borde du känna igen från envariabel. Borde bara vara att sätta in iz istället för x och förenkla. Testa

Micimacko skrev:

Serien för e^x borde du känna igen från envariabel. Borde bara vara att sätta in iz istället för x och förenkla. Testa

Men det är väl mest det att enl. wiki så har jag en funktion av $s$. dvs $\frac{f(s)}{s-z_0}$

vet inte om jag krånglar till det?

Ja det gör du nog. Man kan räkna ut dem så, men det vore en milslång omväg i det här fallet.

Micimacko skrev:

Ja det gör du nog. Man kan räkna ut dem så, men det vore en milslång omväg i det här fallet.

Hur skulle du göra?

Stoppa in serien för e och förenkla..

Micimacko skrev:

Stoppa in serien för e och förenkla..

Men då.. använder man inte $(z-z_0)f(z)$ som jag hade tänkt typ, men.. (eller?)

Det står i din bild att den satsen gäller residy i enkelpol, men din funktion har trippelpol i 0. (du har 0^3 i nämnaren om z=0)

Det finns en liknande sats för poler av andra ordningar också, men jag gissar att du har fått en så känd serie du har där av en anledning.

Micimacko skrev:

Det står i din bild att den satsen gäller residy i enkelpol, men din funktion har trippelpol i 0. (du har 0^3 i nämnaren om z=0)

Det finns en liknande sats för poler av andra ordningar också, men jag gissar att du har fått en så känd serie du har där av en anledning.

Men för intresset skull, vad skulle man googla på, för att hitta uppg/YouTube dylikt för om de har andra, fjärde eller vilken dimension som helst egentligen? =)

https://sv.wikipedia.org/wiki/Residy

Hej,

För att beräkna residyn i $z=0$ ska du skriva funktionen $f$ som 

    $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n = \cdots+c_{-1}z^{-1}+c_0+c_1z+\cdots$

och den sökta residyn är koefficienten $c_{-1}.$

Med serien

    $\displaystyle e^{iz} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{n}}{n!}z^{n}$

blir

    $z+i(e^{iz}-1)= z+i(iz+\frac{i^2}{2}z^2+\frac{i^3}{3!}z^3+\cdots) = -\frac{i}{2}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots$

och följaktligen

    $f(z)=-\frac{i}{2}z^{-1}+\frac{1}{3!}+\cdots$

vilket visar att den sökta residyn är $-\frac{i}{2}.$

Albiki skrev:

Med serien

    $\displaystyle e^{iz} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{n}}{n!}z^{n}$

 

Vad dum jag känner mig nu, men hur fick du ut det där? eller jag har nog lite svårt att tänka ut hur $\frac{i^n}{n!}z^n$ är $c_n$.