Räkna ut radien

Rita upp cirkeln och linjen. Kan linjen verkligen vara en tangent om den skär cirkeln i två punkter?

Nej. Jag vet att det bara är en punkt. Men jag förstår inte hur det hänger ihop med det som är under rottecknet?

Vad betyder det om din ekvation har två lösningar?
Vad betyder det om din ekvation bara har en lösning?
Vad betyder det om din ekvation har noll lösningar?

Andragradaren som du fått är rätt
Att $x_0 och x_1$måste vara lika (dvs samma punkt) är också rätt, eftersom
det det bara kan finnas 1 tangentpunkt

"x är ju 0,5 plus/minus någonting"     rätt    ( x är 0,5 plus/minus 0 )

Så tangentpunkten är  x=0,5  y=1,5     ( eftersom y=0,5+1 )

Sätt in  x  och  y  i cirkelns ekvation och lös ut  r  så har du svaret, dvs svaret på r.

Cirkeln måste ha sin centrumpunkt på linjen  $y=-x+2$
    (dvs vinkelrät mot tangenten, genom tangentpunkten)

Men det känns lite konstigt att x är 0.5 plus minus 0. Eftersom vi bara ska ha en lösning.

Man kunde ju lika gärna sagt att : Vi stryker x upphöjt i två för vi ska bara ha en lösning. Då skulle vi oxå bara fått ett svar.

Det skulle kännas mer 'rätt' om man räknat ut hela ekvationen och fått 2 svar, varav endast ett passar in.

Men nu vet jag hur man ska göra och varför. Så om jag fortsätter så kanske 'förståelsen' kommer så småningom. Tack för svaren .

Jag tycker det är tilltalande att utifrån enpunktsformeln räkna ut centrumlinjen. Går genom cirkelns mittpunkt och vinkelrät mot tangenten, vilket ger:

$y-2= -(x-0)$

$y=-x+2$

Beräkna sedan skärningen mellan denna linje och tangenten:

$y =x+1 \Rightarrow$

$-x+2=x+1$

Slutligen, när även y-värdet är bestämt kan man enkelt bestämma $r$ genom att sätta in skärningspunkten i cirkelns ekvation.

Strollum skrev:

Men det känns lite konstigt att x är 0.5 plus minus 0. Eftersom vi bara ska ha en lösning.

Man kunde ju lika gärna sagt att : Vi stryker x upphöjt i två för vi ska bara ha en lösning. Då skulle vi oxå bara fått ett svar.

Det skulle kännas mer 'rätt' om man räknat ut hela ekvationen och fått 2 svar, varav endast ett passar in.

Men nu vet jag hur man ska göra och varför. Så om jag fortsätter så kanske 'förståelsen' kommer så småningom. Tack för svaren .

 Nyckeln är att förstå det geometriskt, se bild nedan. Om du fått två skärningspunkter hade linjen varit en sekant och inte en tangent. Alltså, är det en tangent så finns det endast en skärningspunkt.

Om din ekvation bara har en enda lösning, så finns det bara en enda punkt som ligger BÅDE på linjen och på cirkeln.

Strollum skrev:

Men det känns lite konstigt att x är 0.5 plus minus 0. Eftersom vi bara ska ha en lösning.

Tankesättet här är liknande det följande:

"Vilket värde på q gör att x-axeln blir en tangent till andragradskurvan $y=x^2-2x+q$"?

Om x-axeln ska tangera kurvan så får inte kurvan skära x-axeln på två ställen, vilket innebär att $x^2-2x+q$ endast får ha ett nollställe. Nollställena fås med hjälp av pq-formeln till $x=1\pm \sqrt{1-q}$. För att det endast ska bli ett nollställe så måste uttrycket under rottecknet (diskriminanten) vara lika med 0. Det innebär att $q=1$.

Svar: Om $q=1$ så är x-axeln en tangent till$y=x^2-2x+q$.

Man kunde ju lika gärna sagt att : Vi stryker x upphöjt i två för vi ska bara ha en lösning. Då skulle vi oxå bara fått ett svar.

Om du med att "stryka $x^2$" menar $r^2=(y-2)^2$ så hade det inte längre varit en cirkel.

Det skulle kännas mer 'rätt' om man räknat ut hela ekvationen och fått 2 svar, varav endast ett passar in.

Nej 2 svar skulle innebära 2 skärningspunkter och linjen skulle då vara en sekant och inte en tangent. Ingen av punkterna passar då in.