Räkna ut potensserie

Finns olika vis men är nog tänkt att lösas med en metod där man ställer upp en funktion och dess serie och därefter deriverar/multiplicerar/integrerar/adderar saker till båda sidor tills man får en serie som överensstämmer med den man vill beräkna. Sedan kollar man på vad som hände med funktionssidan.

I det här fallet kan man börja med

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^\infty x^k$

Om jag börjar med att derivera denna serie får jag

$\frac{d}{dx}\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 1}^\infty k x^{k - 1}$

och om jag sedan multiplicerar båda led med $x$ får jag

$x\frac{d}{dx}\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 1}^\infty k x^{k}$

Ville jag ha ett uttryck för seriesn $\sum_{k = 1}^\infty k x^{k}$ hade jag nu bara kunnat förenkla vänsterledet och jag får ett sådant uttryck.

Du kan göra något liknande med några fler steg för att komma till $\sum_{k = 0}^\infty k^2 x^{k}$

Tror jag missar någon enkel poäng här, men hur kommer det sig att första k går från 0 till 1 när du deriverar serien?

Menar du i så fall att jag skulle kunna börja med

$\frac{1}{1-k^{2}x}=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{x}^k$

derivera:

$$\begin{gathered} \frac{-k^2}{{(1-k2x)}^2}=\sum _{k=2}^{\infty }{k}^3{x}^{k-1}\Rightarrow \\ \frac{-x{k}^2}{{(1-k2x)}^2}=\sum _{k=2}^{\infty }{k}^3{x}^k \end{gathered}$$

Testa vad första talet blir om du börjar på 0 ;) 

Man kan skriva på båda sätt. 

Jaha, man skriver helt enkelt = 1 istället för = 0 för att första termen är = 0 och kan därmed skippas.

Såg nu att min formel efter "derivera:" ser väldigt konstig ut (har fått något error) så här kommer den igen:

$\frac{-k^2}{1-k^{2}x}=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^3{x}^{k-1}\Rightarrow$

$\frac{-x{k}^2}{{(1-k^{2}x)}^2}=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^3{x}^k$

EDIT: Jag verkar få problem med MathType om jag använder summatecken som har gränserna över resp under Sigma. Nu när de står vid sidan av syns ekvationerna för mig. Säg gärna till annars, om de ser konstiga ut.

Känns som du är på väg åt lite fel håll.  Derivera uttrycket Cephalopodden härledde åt dig

$\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^k$

Och när du deriverat multiplicerar du sedan båda led med x. Vad får du då?