Räkna ut olikheter algebraiskt

Ska alla olikheter gälla samtidigt? I sådant fall, beräkna först lösningen till ekvationssystemet $\left\{\begin{array}{l}y=240-2x\\ y=190-1,5x\end{array}\right.$. :)

Svaret jag får blir y=50-0.5x, men hur räknar jag ut x?

Jag behöver alltså få ut de 4 ställen inom ett visst område som stöder olikheterna manuellt, jag vet svaren grafiskt men jag förstår inte hur jag ska hitta 4 olika punkter genom dessa olikheter.

Rita! Varje olikhet kan du nämligen betrakta som en linje, och sen ett val av ena sidan om den linjen.

För $x\geq 0$ t.ex. kan du dra en linje längs x=0, dvs längs y-axeln. Olikheten beskriver alla punkter på, eller till höger om, y-axeln (eftersom den säger att x ska vara minst noll). På motsvarande sätt beskriver $y\leq 240 - 2x$ alla punkter som ligger på, eller nedanför, linjen $y=240-2x$.

Ritar du upp alla ser du att de tillsammans stänger in ett område i första kvadranten, och alla punkter i det området uppfyller alla fyra olikheter. Det är alltså inte så att det finns ett enda, eller några få, par av (x, y) som är lösningen, som i ett ekvationssystem - utan det är oändligt många punkter. Därför är det vanligt att man ritar området som ett sätt att ange alla lösningar, eller kanske att man räknar ut områdets hörn och anger dessa.

Om du löser ekvationssystemet med x och y så får du värden på både x och y.

Du verkar ha subtraherat ekvationerna. Det är bra, och då får du 0 i vänsterledet, inte y. Så du kan få ut x direkt.

Tack för att ni hjälper mig förtydliga! Det är alltså de 4 hörnen i den första kvadranten jag vill ha reda på, och jag vet ju att 1 punkt är (0, 0) men de andra förstår jag inte hur jag ska få fram med hjälp av detta system!

Nu har jag löst iallafall punkterna (100, 40) med hjälp av ekvationssystemet men det är två kvar där ena  y-värdet ska vara 0 och ena x-värdet ska vara 0 i varsin punkt

Beroende på hur noggrant man ritat, kan man se att hörnen som inte är (0,0) utgörs av:

• Punkten där y=190-1.5x skär y-axeln (inte den andra linjen, för den ligger högre upp)
• Punkten där y=240-2x skär x-axeln (inte den andra linjen, för den ligger längre ut)
• Punkten där y=190-1.5x och y=240-2x skär varandra.

Den sista har du alltså hittat låter det som. Det är egentligen den svåraste, för de första två har du redan ena koordinaten för eftersom du vet vilken axel de ligger på. Längs y-axeln är x=0, och längs x-axeln är y=0.

Och har man inte ritat så noggrant att man vet vilken linje som gäller var, kan man hitta var båda linjer skär båda koordinataxlar, och sen för varje axel helt enkelt välja den skärningspunkt som ligger närmast origo - för den andra kommer ligga utanför området, och inte bidra till begränsningen.

Det finns alltså inget sätt at lösa de andra punkterna algebraiskt med de ekvationer vi redan har? Det enda sättet att få reda på dem är att rita?

Ritandet hjälper för att guida dig till vilka ekvationer som behöver lösas, men ekvationerna löses algebraiskt. Om du bara utgår från linjerna själva finns det 6 olika ekvationer, motsvarande 6 olika skärningspunkter mellan de fyra linjerna, att lösa. Men området har bara 4 hörn, så två av skärningspunkterna hjälper inte till att begränsa området.

nu har jag ritst och markerat (100,40) men hur får jag reda på de andra koordinaterna?

Okej, så glöm allt vad olikheter och hörn heter för en stund. Kan du rita upp linjerna y=240-2x och y=190-1.5x? (I samma koordinatsystem)

Hej,

• Multiplicera Olikhet 2 med talet $4$ för att få olikheten $4y \leq 760 - 6x.$
• Multiplicera Olikhet 1 med talet $3$ för att få olikheten $3y \leq 720 - 6x.$

Subtrahera de två olikheterna för att få följande olikhet.

    $4y - 3y \leq (760-6x)-(720-6x)$

som är samma sak som

    $y \leq 40$.

Subtrahera de två ursprungliga olikheterna för att få följande olikhet.

    $y-y \leq (190-1.5x)-(240-2x)$

som är samma som

    $0\leq -50+0.5x \Longleftrightarrow 100 \leq x.$

reycoo skrev:

Det finns alltså inget sätt at lösa de andra punkterna algebraiskt med de ekvationer vi redan har? Det enda sättet att få reda på dem är att rita?

Det du har är olikkheter, inte ekvationer.

Men jodå, det går utmärkt att hitta alla skärningspunkter algebraiskt, precis som Skaft var inne på.

Börja då med att skriva om olikheterna som ekvationer:

E1: y = 240 - 2x

E2: y = 190 - 1,5x

E3: x = 0

E4: y = 0

Detta motsvarar 4 linjer L1, L2, L3 och L4, vars skärningspunkter du kan hitta algebraiskt genom att para ihop ekvationerna 2 och 2 och lösa de ekvationssystem du då får. Det ger dig som mest 6 st skärningspunkter P1, P2, P3, P4, P5 och P6 (det blir färre om några av linjerna är parallella).

P1: Linjerna L1 och L2 skär varandra där E1 och E2 båda är uppfyllda, dvs i den punkten som löser ekvationssystemet

y = 240 - 2x

y = 190 - 1,5x

P2: Linjerna L1 och L3 skär varandra där E1 och E3 båda är uppfyllda, dvs i den punkten som löser ekvationssystemet

y = 240 - 2x

x = 0

P3: Linjerna L1 och L4 skär varandra där E1 och E4 båda är uppfyllda, dvs i den punkten som löser ekvationssystemet

y = 240 - 2x

y = 0

P4: Linjerna L2 och L3 skär varandra där E2 och E3 båda är uppfyllda, dvs i den punkten som löser ekvationssystemet

y = 190 - 1,5x

x = 0

P5: Linjerna L2 och L4 skär varandra där E2 och E4 båda är uppfyllda, dvs i den punkten som löser ekvationssystemet

y = 190 - 1,5x

y = 0

P6: Linjerna L3 och L4 skär varandra där E3 och E4 båda är uppfyllda, dvs i den punkten som löser ekvationssystemet

x = 0

y = 0

Detta ger dig 6 punkter och du måste sedan bedöma vilka 4 av dessa som utgör områdets hörnpunkter. Då är din grovritade figur till stor hjälp.

============

En annan metod är att som Albiki visade lösa ut de 4 olikheter som tillsammans begränsar området. Det är elegantare men kanske lite svårare att komma på.