Räkna ut kapacitans av kondensator som laddas upp

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Jag har sett några som använder en formel som jag inte sett förut och som ser lite för avancerad ut för det vi har gått igenom: 

UC = U (I − e−tRC)

Ja, denna formel skulle du kunna använda eftersom den matematiskt beskriver uppladdningsförloppet av kondensatorn som funktion av tiden (du har skrivit av den lite fel, byt ut I'et mot en etta). Du kan till exempel läsa av några punkter i grafen och anpassa funktionen för dessa punkter. Som du påpekar så lär man sig nog inte igenom denna funktion in fysik2-kursen, utan den kommer senare, så det är nog inte tänkt att man ska använda sig av den metoden. Vi kan också, om du vill, härleda den. Men det blir mer en matteuppgift än en fysikuppgift, och du måste du ha läst om differentialekvationer i matte5.

Vi kan också försöka använda det du har lärt dig på fysik 2. Du är något på spåren med dina försök, till exempel insett att tiden måste komma med på något sätt.

så jag får ΔQ = I * Δt

Det du har kommit fram till här kan tolkas som att Q är arean under grafen, eller hur? Försök alltså att utnyttja att kondensatorns laddning är arean under I(t)-grafen. Rita också en figur av kretsen, då ser man lättare hur Uc kan beräknas vid olika tidpunkter.

Kommer du vidare?

När jag ska få fram $∆Q$ så vill jag använda medelärdet av vad I är över den tiden. Då använder jag: 

$∆Q$ = $\frac{I_1 + I_2}{2}$ * $∆t$

När jag sedan vill räkna ut vad U är vid samma tidpunkt så använder jag: 

U = $\frac{I_1 + I_2}{2}$ + R 

När jag då ställer upp C = $\frac{Q}{U}$ så får jag: 

C = $\frac{\left({\displaystyle \frac{I_1 + I_2}{2}}\right) * ∆I}{\left({\displaystyle \frac{I_1 + I_2}{2}}\right) + R}$

Deta ger mig då att C = $\frac{∆t}{R}$

Men det går inte ihop tycker jag. Eftersom laddningen (Q) och spänningen (U) måste vara proportionerliga mot varandra för att kapacitansen (C) ska vara densamma så känns det rimligt att om jag tar $\frac{Q}{U}$ vid olika tidpunkter så borde jag få ungefär samma svar. Men med min nya formel C = $\frac{∆t}{R}$ så får jag då att kapacitansen (C) varierar beroende på hur stort tidsintervall jag väljer att mäta i, vilket inte går ihop. 

Det är här jag fastnar hela tiden och jag förstår inte hur jag ska ta mig vidare. Jag tror att kretsen kommer se ut på ungefär det här sättet: 

Där S från början är stängd och ingen ström går genom kapacitatorn. Men när S öppnas så måste strömmen gå genom kapacitatorn och då startar även tidtagningen (t). Desto mer som kapacitatorn "fylls", desto mer kommer den att trycka tillbaka mot strömmen tills den har en spänning (U) som är lika stor som strömkällan själv. Jag ser då att spänningen (Uc) över kondensatorn kommer att öka med tiden, men spänningsskillnaden mellan kondensatorn och strömkällan kommer at minska. Jag förmodar att det är denna spänningsskillnad som jag får fram när jag använder formeln U = I * R då I kommer att minska med tiden. 

Om jag då ska få fram spänningen över kondensatorn (Uc) vid en viss tidpunkt t, ska jag då ta U = I * R vid t = 0 minus U = I * R vid tidpunkten jag vill veta Uc över? Så det blir: 

Uc (då t = x) = $I * R (då t = 0) - I * R (då t = x)$

Dvs, den maximala spänningen (spänningen hos strömkällan) - spänningsskillnaden vid tidpunkt x? 

Där har du gjort många bra grejer. Vi behöver nästan bara knyta ihop säcken och leverera ett svar.

När jag ska få fram ΔQ så vill jag använda medelärdet av vad I är över den tiden. Då använder jag: 

ΔQ= (I1 + I2)/2 * Δt

Jättebra tänkt, men du kan ännu bättre. Pappret är mm-rutat så du borde kunna läsa av arean under grafen ganska väl.

Vi kan bestämma oss för att använda tiden mellan t=0 och t=75s (men vi kan använda vilket $∆t$ vi vill, huvudsaken vi läser av alla behövda storheter vid samma tidpunkt)

Du har räknat med medelvärdet av strömmen, det betyder att du har approximerat arean fram till t=75s, med

Försök göra lite bättre approximation av arean, tex genom att dela in den i fler rektanglar. Eller kanske till och med räkna mm-rutorna.

När jag sedan vill räkna ut vad U är vid samma tidpunkt så använder jag: 

U = (I1 + I2)/2 + R 

Jättebra att inse att du måste räkna ut Uc vid samma tidpunkt, men det kan du inte göra med den formeln som du skrivit (jag tror du skrivit ett plustecken men menade multiplikation med R, men det stämmer inte heller)

Om jag då ska få fram spänningen över kondensatorn (Uc) vid en viss tidpunkt t, ska jag då ta U = I * R vid t = 0 minus U = I * R vid tidpunkten jag vill veta Uc över? Så det blir: 

Uc (då t = x) = I * R (då t = 0) − I * R (då t = x)� * � (�å � = 0) - � * � (�å � = �)

Dvs, den maximala spänningen (spänningen hos strömkällan) - spänningsskillnaden vid tidpunkt x? 

Här! har du formeln för att räkna ut Uc vid t=75s. Figuren behövdes för att komma på det, eller hur? (kanonbra figur, dessutom!)

Försök nu att använda C=Q/U

Så säg att jag tar $∆t$ mellan t=0 och t=20s, för då ser grafen väldigt rak ut och det går då att räkna ut arean inom detta intervall med formeln för en parallelltrapets:

A = $\frac{h (a + b)}{2}$

Och eftersom arean är samma som laddningen (Q) blir denna formel till: 

Q = $\frac{20 (i_0 + i_{20})}{2}$ då $∆t$ = 20 

Eftersom $i_0=55*{10}^{-6}$ och $i_{20}=36*{10}^{-6}$ får jag då när t=20s:

Q = $\frac{20 (55+36) {10}^{-6}}{2}= 9.1*{10}^{-4}$

Tar jag formeln för Uc vilket jag hade i svaret innan får jag då när t=20s och R=340 $k\Omega$:

Uc = $R (i_0-i_{20})$ ; såg att jag kunde förenkla den genom att bryta ut R i HL. 

Uc = $340*{10}^3 (55-36) {10}^{-6}= 6.46$

Med formeln C=$\frac{Q}{U}$ får jag då när t=20s och R=340 $k\Omega$:

C = $\frac{9.1*{10}^{-4}}{6.46}\approx 0,14*{10}^{-3} = 0,14 mF$

Detta borde då vara kapacitansen för kondensatorn. Det går kanske att föränkla mer då både Q och Uc har $i_0$ och $i_{20}$ i sig, men det borde inte vara nödväntigt bara man sparar de exakta svaren av Q och Uc i miniräknaren. 

Så säg att jag tar Δt∆� mellan t=0 och t=20s, för då ser grafen väldigt rak ut och det går då att räkna ut arean inom detta intervall med formeln för en parallelltrapets

Listigt! Man får bara passa sig för att använda ett för litet $∆t$, eftersom resultatet kommer att bli känsligare för avläsningsfel ju mindre intervall man använder (men lyckas man avläsa riktigt ska det naturligtvis inte spela någon roll). Jag kom fram till samma kapacitansvärde som du, så jag tror att det är rätt svar. Har du nåt facit?

(Som en sidenote, jag tror uppgiftförfattaren har slarvat lite då den har ritat grafen utifrån de ingångsdata som ges. Jag tyckte att grafen inte riktigt ser ut som en exponentialfunktion, som den teoretiskt borde vara. Den ser lite _för_ linjär ut före t=20s (kanske för att någon ska hitta den förenklade areaberäkningsmetoden som du hittade...) Jag ritade därför upp den teoretiska strömkurvan i geogebra. Den gröna kurvan är med C=0.13mF och den röda kurvan är med C=0.14mF.

Man kan se att geogebras kurva för C=0.14mH passar bäst mot uppgiftkurvans avläsning vid t=20s. Och geogebras kurva för C=0.13mH passar bäst motuppgiftkurvans avläsning vid t=75s. Vilket betyder att man kommer att få något olika värden på C om man läser värdena vid t=20s, eller t=75s. Även ifall man avläser korrekt ur grafen)

Uppgiften ändrar resistansen till ett nytt tal varje gång man försöker, så jag vet inte om just 0,14 mF är rätt då R=340 $k\Omega$. Men jag använde denna formel med en ny resistans och svaret jag fick då blev rätt. Så formeln gav rätt svar, vilket borde betyda att 0,14 mF då är rätt. 

Jag är nog även rätt säker på att grafen är ritad med en rät linje i början så att man enkelt kan se vart man ska räkna och att man kan ta arean av en parallelltrapets. 

Tack så mycket för dina svar och förklaringar! De har varit extremt hjälpsamma för mig att inte bara få rätt svar, utan även förstå vad allt betyder och vad som händer.