Räkna ut följande med hjälp av de Moivres formel : (sqrt3 - i)^100

På facit står det: $2^{100} e^{\frac{- 50 πi}{3}} = - 2^{99} (1 + i \sqrt{3})$

Förstår ej hur fick facit det svaret. Jag har gjort på följande sätt men det ser ut som att jag e ute o cyklar.

${(\sqrt{3} - i)}^{100} z^{p} = r^{p} e^{i p v} = r^{p} (\cos p v + i \sin p v) r = \sqrt{\sqrt{{(3)}^{2}} + 1} = 2, p = 100, v = \tan^{- 1} \frac{1}{\sqrt{3}} 2^{100} (\cos 100 \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin 100 (\frac{1}{2})) = ?$

Khan009, du har grönmarkerat din tråd. Betyder det att du har kommit fram till svaret på egen hand och inte längre behöver någon hjälp? /moderator

Hej Khan,

Du kan gå från rektangulär form $\sqrt{3} + (-1)i$ till polär form $r e^{i v+i2\pi n}$ där $n$ är heltal och $r=2$ samt

$\tan v = \frac{-1}{\sqrt{3}} \iff v =-\frac{\pi}{6}$ .

Detta ger beräkningen

$(\sqrt{3}+(-1)i)^{100} = (2e^{-i\frac{\pi}{6} + i2\pi n})^{100} = 2^{100}e^{-i\frac{100\pi}{6}+i200\pi n }$

som kan omformuleras till

$2^{100}e^{-i (16+\frac{2}{3})\pi + i200 \pi n} = 2^{100} e^{-i\frac{2\pi}{3}+i(100 n+8)2\pi} = 2^{100} e^{-i\frac{2\pi}{3} + i 2\pi t}$ där $t$ är heltal.

Svara