Räkna med determinanter

Låt $u,v,w$ vara de tre kolonnerna i en $3 \times 3$ -matris $A$ . Determinanten till matrisen $A$ kan då betraktas som en funktion av $u,v,w$ . Antag att $\det(u,v,w)=\det(A)=1$ . Bestäm $\det(v+6 w,w+6 u,u+2 v)$ .

Jag kan inte identifiera något annat än byte av plats på kolonner, vilket enbart påverkar tecken, och addition av en multipel av en kolonn, vilket inte förändrar determinanten, i $\det(v+6 w,w+6 u,u+2 v)$ . Hur kan då determinanten vara något annat än 1 eller -1? (det rätta svaret är nämligen inte 1 eller -1)

Mja, prova med enhetsmatrisen.

Notera att

$[\begin{matrix} u & v & w \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 6 & 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} v + 6 w & w + 6 u & u + 2 v \end{matrix}]$

Ah, tack! Jag ser nu. Jag kan helt enkelt ta determinanten för de båda matriserna till vänster för sig och multiplicera ihop, vilket blir samma sak som determinanten för den högra matrisen. Men jag är fortfarande förvirrad över det faktum att jag kan ta mig från $\begin{bmatrix} u&v&w \end{bmatrix}$ till $\begin{bmatrix} v+6w&w+6u&u+2v \end{bmatrix}$ genom att först byta plats på $u$ , $v$ och $w$ och sedan lägga till multiplar av någon kolonn. Det borde inte ändra determinanten förutom tecken. Vad är skillnaden?

det(v + 6w, w + 6u, u + 2v) = (dra 6 ggr kolonn 2 från kolonn 1) =

det(v - 36u, w + 6u, u + 2v) = (lägg 36 ggr kolonn 3 till kolonn 1) =

det(73v, w + 6u, u + 2v) = (dra 2/73 ggr kolonn 1 från kolonn 3) =

det(73v, w + 6u, u) = (dra 6 ggr kolonn 3 från kolonn 2) =

det(73v, w, u) = 73det(v, w, u) = 73det(u, v, w) = 73.

Svara

Visa senaste svar