Räkna integraler med bråkform.

$\int\limits_{0}^{2}(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3})\, dx$

Skriv utan bråkstreck:

$\int\limits_{0}^{2}(x^{-2}-x^{-3})\, dx$.

OK?

Du kan skriva 1/x^n =x^-n från potensreglerna sedan är det bara att hitta primitiva funktionen i formelsamlingen.

knasterknorr skrev:

Jag antar att det redan är en primitiv funktion eftersom det är i bråkform

Det här är en missuppfattning. Vi tar en funktion, vilken som helst, säg $y = x^2$ som exempel. Derivatan av den här är $y' = 2x$ (eller hur?). Eftersom $x^2$ deriveras till $2x$, så är $x^2$ en primitiv funktion till $2x$. Det är bara det "primitiv funktion" betyder ("derivatans motsats" kan vi också säga), och har alltså inget med just bråk att göra.

Så, back to business - för att beräkna integralen behövs en primitiv funktion till integranden. Vi behöver alltså en funktion vars derivata är $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$. Ett bra första steg är att skriva om termerna så att de bara är varsin potens: $x^{-2} - x^{-3}$. Ett minustecken i exponenten kan nämligen bytas mot "ett delat på".

Kan du därifrån hitta en primitiv?

Skaft skrev:

knasterknorr skrev:

Jag antar att det redan är en primitiv funktion eftersom det är i bråkform

Det här är en missuppfattning. Vi tar en funktion, vilken som helst, säg $y = x^2$ som exempel. Derivatan av den här är $y' = 2x$ (eller hur?). Eftersom $x^2$ deriveras till $2x$, så är $x^2$ en primitiv funktion till $2x$. Det är bara det "primitiv funktion" betyder ("derivatans motsats" kan vi också säga), och har alltså inget med just bråk att göra.

Så, back to business - för att beräkna integralen behövs en primitiv funktion till integranden. Vi behöver alltså en funktion vars derivata är $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$. Ett bra första steg är att skriva om termerna så att de bara är varsin potens: $x^{-2} - x^{-3}$. Ett minustecken i exponenten kan nämligen bytas mot "ett delat på".

Kan du därifrån hitta en primitiv?

Kan det vara -x^-1 som primitiv funktion till x^-2 och 0,5x^-2 som primitiv funktion till x^-3?

knasterknorr skrev:

Skaft skrev:

Det här är en missuppfattning. Vi tar en funktion, vilken som helst, säg $y = x^2$ som exempel. Derivatan av den här är $y' = 2x$ (eller hur?). Eftersom $x^2$ deriveras till $2x$, så är $x^2$ en primitiv funktion till $2x$. Det är bara det "primitiv funktion" betyder ("derivatans motsats" kan vi också säga), och har alltså inget med just bråk att göra.

Så, back to business - för att beräkna integralen behövs en primitiv funktion till integranden. Vi behöver alltså en funktion vars derivata är $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$. Ett bra första steg är att skriva om termerna så att de bara är varsin potens: $x^{-2} - x^{-3}$. Ett minustecken i exponenten kan nämligen bytas mot "ett delat på".

Kan du därifrån hitta en primitiv?

Kan det vara -x^-1 som primitiv funktion till x^-2 och 0,5x^-2 som primitiv funktion till x^-3?

Det kan det! Eller, första ser bra ut. $0.5x^{-2}$ deriveras inte till $x^{-3}$, det följer med ett minustecken tillsammans med tvåan.

Och siffrorna vid integraltecknet (kan inte göra det på min dator) är 0 och 2.

När du skriver från en dator kan du använda Pluggakutens formelskrivare. Den finns näst längst till höger i inskrivningsraden och ser ut som ett rotenur-tecken.