Radie på cirkel tangent till större cirkel

Flytta R på lilla cirkeln så att den går från centrum till den övre punkten vid y. Då har du en rätvinklig triangel med en katet X-R, en katet X-y med hypotenusan R. 

Kan du lösa den nu?

Nej jag tror inte det.

om vi låter X vara 10 och Y 0.5 så:

Oj, det blir (10)^2 + (9.5)^2 inte minus.

Får då 190.25 = 22R 

r= 8.64.

kan inte stämma..

Eller pluggar man in 8.64 i formeln igen så får man R= 9.6. Det kan däremot vara rimligt. Men varför får jag inte ut det svaret på en gång?

Tror detta är korrekt.

x = 10 och y = 0.5

10^2-20R+R^2+9.5^2 = R^2

190.25 -20R + R^2 = R^2

190.25 = 20R

R = 9.5125?

Ser korrekt ut. Snyggt!

 

 

mrpotatohead skrev:

Ser korrekt ut. Snyggt!

Tack!

Har sett den här lösningen också:

((10-0.5)^2 + 10^2) / 10*2

Vad är det man gör här? En förkortning av samma sak eller något helt annat?

Jag vet inte riktigt. Skulle R vara lika med dedär?

Du kan uttrycka R i x och y.
Med Pythagoras sats fick jag R = x - y + $\frac{y^2}{2x}$.

Med kordasatsen
(x - y)² = x(2R - x)
R =((x - y)² + x²)/2x.
Det uttrycket (som förstås kan skrivas om som uttrycket ovan) motsvarar det som du skrev sist.

Louis skrev:

Du kan uttrycka R i x och y.
Med Pythagoras sats fick jag R = x - y + $\frac{y^2}{2x}$.

Med kordasatsen
(x - y)² = x(2R - x)
R =((x - y)² + x²)/2x.
Det uttrycket (som förstås kan skrivas om som uttrycket ovan) motsvarar det som du skrev sist.

Så det är kordasatsen man har använt sig av där? Det är ingenting jag känner till.. ska läsa lite om den.

Läste lite om den och är inte riktigt med på hur den tillämpas här? 🙂

Kordasatsen säger att produkten av de röda sträckorna är lika med produkten av de blå.

(x-y)(x-y) =x(x-(2x - 2R))

Louis skrev:

Kordasatsen säger att produkten av de röda sträckorna är lika med produkten av de blå.

(x-y)(x-y) =x(x-(2x - 2R))

Jo.. men hur får man ut radien utifrån det?

Jämnas det ut om man tar /2x så man centrerar cirkeln, typ? Tänkte rent visuellt.. du som gillar visuella exempel ^^

(x - y)² = x(2R - x)
(x - y)² = 2xR - x²
R = ((x - y)² + x²)/2x

som kan skrivas om som

 R = x - y + $\frac{y^2}{2x}$

Ja, jag funderade på om man kan göra en geometrisk tolkning.
Vi ser i figuren att R är x - y och lite till.
Men hur "lite till" blir y²/2x har jag svårt att läsa ut ur figuren.

Louis skrev:

(x - y)² = x(2R - x)
(x - y)² = 2xR - x²
R = ((x - y)² + x²)/2x

som kan skrivas om som

 R = x - y + $\frac{y^2}{2x}$

Ja, jag funderade på om man kan göra en geometrisk tolkning.
Vi ser i figuren att R är x - y och lite till.
Men hur "lite till" blir y²/2x har jag svårt att läsa ut ur figuren.

Okej.. men hur bryter du ut R ifrån uttrycket i 3e steget där? Eller jag är inte med på något steg förutom 1a till andra egentligen.

(x - y)² + x²= 2xR
Dela båda leden med 2x så har du R ensamt.

Tack för hjälpen!

Kollade på detta igen och jag förstår inte varför Pythagoras sats fungerar i uppgiften, kan någon förklara?

Man vet ju bara en sida av den rätvinkliga Triangeln som bildas. I exemplet här är det X-r och x-y. Även om vi vet X så kan ju r vara vad som helst. 

Dkcre skrev:

Kollade på detta igen och jag förstår inte varför Pythagoras sats fungerar i uppgiften, kan någon förklara?

Så här:

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Kollade på detta igen och jag förstår inte varför Pythagoras sats fungerar i uppgiften, kan någon förklara?

Så här:

Ja, men varför går det ihop?

Vi vet ju inte R, så egentligen har vi ju bara en sida av triangeln. Det är kanske för att R används i både hypotenusan och uträkningen av ena kateten här som gör att det fungerar.

Det är R som ska beräknas från värdena på x och y.
Eller uttryckas i en formel med x och y.

Kan du finna ett samband mellan R, x och y, t ex med Pythagoras sats,
kan du också lösa ut R. Som vi gjort ovan. 

Ja, det verkar så.

Men du är tveksam? Jag är inte riktigt med på vad tveksamheten gäller.

Louis skrev:

Men du är tveksam? Jag är inte riktigt med på vad tveksamheten gäller.

Nej, jag förstår bara inte varför det fungerar, varför går sambandet att hitta. Det måste vara för att båda trianglarna tangerar cirkeln, och att den stora triangeln är inskriven i en cirkel så det går att hitta radien som tangerar båda hörnen i triangeln.

I Yngves figur finns bara en triangel, en rätvinklig sådan, där sidorna kan uttryckas med x, y och R.

Louis skrev:

I Yngves figur finns bara en triangel, en rätvinklig sådan, där sidorna kan uttryckas med x, y och R.

Jag menar ett triangel av stora radien. Nu ritade jag dit flera som överlappar men..

Försöker få fram någon vinkel eller längd som går att använda sig utav på det här sättet men verkar vara omöjligt.. med det jag vet i varje fall.

Det finns säkert fler sätt att bestämma R, men att använda triangeln i Yngves figur (ursprungligen föreslaget av mrpotatohead) är väl det enklaste.

Louis skrev:

Det finns säkert fler sätt att bestämma R, men att använda triangeln i Yngves figur (ursprungligen föreslaget av mrpotatohead) är väl det enklaste.

Kom på en metod till, om man ritar en stor triangel med hjälp av radien från stora cirkeln, sedan drar hypotenusan ifrån korta kateten till tangeringspunkten på cirklarna.

Sedan räknar man ut vinkeln på den triangeln.

Sedan kan man bilda en triangel till härifrån med hjälp av korta kateten plus 90g - X vinkel som vi räknat ut. Löser man sidorna i den triangeln och plussar ihop sidorna så får man diametern på cirkeln. Sedan det /2 naturligtvis.

Intressant, men hur beräknar du vinklarna?

Ja egentligen behövs ju inte triangel två där utan man kan ju bara räkna utifrån hypotenusan på första triangeln för att få diametern direkt

Jag förstår inte riktigt din skiss.

Kan du rita in din lösning i ursprungsbilden?

Yngve skrev:

Jag förstår inte riktigt din skiss.

Kan du rita in din lösning i ursprungsbilden?

Hej Yngve,

Hoppas att följande är tydligare:

OK, så med beteckningarna x, r och R så får vi alltså att

$R=\frac{x+(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))}{2}$

Yngve skrev:

OK, så med de nya beteckningarna x och r så får vi alltså att

$R=\frac{x+(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))}{2}$

Okej..

Jag förstår inte riktigt uppställningen. Vad är X + (x-r) • tan? 

Eller det var inget. Jag förstår. 

Här kan man ju se att varför första lösningen är rimlig, för att triangeln är relaterad till diametern. Undra hur många fler lösningar det finns.

Dkcre skrev:

Okej..

Jag förstår inte riktigt uppställningen. Vad är X + (x-r) • tan? 

Jag tycker att din uträkning verksr korrekt, men jag försöker bara skriva ditt resultat på sluten form.

Du skriver att $R=\frac{H+x}{2}$

Eftersom $H=(x-r)\cdot\tan(\alpha)$ så blir det $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(\alpha)+x}{2}$

Eftersom $\alpha=90^{\circ}-\beta$ så blir det $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\beta)+x}{2}$

Eftersom $\beta=\arctan(\frac{x}{x-r})$ så blir det $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))+x}{2}$

Ser du om det går att förenkla uttrycket?

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Okej..

Jag förstår inte riktigt uppställningen. Vad är X + (x-r) • tan? 

Jag tycker att din uträkning verksr korrekt, men jag försöker bara skriva ditt resultat på sluten form.

Du skriver att $R=\frac{H+x}{2}$

Eftersom $H=(x-r)\cdot\tan(\alpha)$ så blir det $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(\alpha)+x}{2}$

Eftersom $\alpha=90^{\circ}-\beta$ så blir det $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\beta)+x}{2}$

Eftersom $\beta=\arctan(\frac{x}{x-r})$ så blir det $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))+x}{2}$

Ser du om det går att förenkla uttrycket?

En fråga bara, när ni skriver i det här LaTex språket, måste man kunna syntax för allting i huvudet eller hur fungerar det?

Nej.. det känns för svårt för mig. Tycker redan det känns förenklat. Vi måste ju ha allt det där. 

Vi kan skriva 2R i alla fall och ta bort/2 om det räknas.

Går det att förenkla detta?

 $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))+x}{2}$

Dkcre skrev:

En fråga bara, när ni skriver i det här LaTex språket, måste man kunna syntax för allting i huvudet eller hur fungerar det?

Nej, du måste inte kunna syntaxen i huvudet. Det finns en inbyggd formeleditor som hjälper dig att skriva matematiska uttryck. Du når den via knappen som ser ut som ett rotenur-tecken.

Pga platsbrist syns denna knapp endast om du har en bred skärm.

Dkcre skrev:

Går det att förenkla detta?

 $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))+x}{2}$

Ja.

Börja med uttrycket 90°-arctan(x/(x-r)).

Rita då en rätvinklig triangel där ena kateten är x och den andra är x-r.

• Vilken vinkel i denna triangel är arctan(x/(x-r))?
• Vilken vinkel i triangeln är 90°-arctan(x/(x-r))?
• Kan du uttrycka denna andra vinkel på ett enklare sätt?

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Går det att förenkla detta?

 $R=\frac{(x-r)\cdot\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))+x}{2}$

Ja.

Börja med uttrycket 90°-arctan(x/(x-r)).

Rita då en rätvinklig triangel där ena kateten är x och den andra är x-r.

• Vilken vinkel i denna triangel är arctan(x/(x-r))?
• Vilken vinkel i triangeln är 90°-arctan(x/(x-r))?
• Kan du uttrycka denna andra vinkel på ett enklare sätt?

Ja, jag skulle säga att den vinkeln kan uttryckas som arctan(X-r) / X. Vinklarna i trianglarna är ju lika.

Gör vi båda till en stor och benämner sista kateten på gröna y kan vi köra;

2R = Y/cos(Arctan (x-r) / x)

Dkcre skrev:

Ja, jag skulle säga att den vinkeln kan uttryckas som arctan(X-r) / X. Vinklarna i trianglarna är ju lika.

Ja, det stämmer.

Eftersom $90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r})=\arctan(\frac{x-r}{x})$ så är $\tan(90^{\circ}-\arctan(\frac{x}{x-r}))=$

$=\tan(\arctan(\frac{x-r}{x})=\frac{x-r}{x}$.

Är du med så långt?

Vi får alltså att $R=\frac{x+(x-r)\cdot\frac{x-r}{x}}{2}=\frac{x+\frac{(x-r)^2}{x}}{2}=\frac{x^2+(x-r)^2}{2x}$

Dvs samma resultat som Louis skrev i svar #15, vilket betyder att din alternativa lösning är rätt. Bra!

Vad duktiga ni är.

Har inte tänkt på att de trigonometriska funktionerna faktiskt är kvoter mellan två tal, och därför kan uttryckas på det sättet i ett uttryck. Övervägde inte det, ens. Ska komma ihåg det.

Det är lite för svårt för mig den sista förenklingen du gör där men jag förstår principiellt.

Tack!

Dkcre skrev:

Det är lite för svårt för mig den sista förenklingen du gör där men jag förstår principiellt.

Förläng bråket med x så får du den sista förenklingen.

Ja,

Det var mer att det även utförs under divisionstecknet som jag tyckte var knepigt.

Men kollade med exempelvis (10 + ((20-10) / 2)) / 5

Och det blir ju så. Tack så mycket, i alla fall.

Dkcre skrev:

Ja,

Det var mer att det även utförs under divisionstecknet som jag tyckte var knepigt.

Att förlänga ett bråk med ett. värde innebär att du multiplicerar både täljare och nämnare med det värdet.