Radianer uppgift (Matematik/Matte 4)

Pröva att sätta att

$\sin (3 x) = \sin (2 x + x)$

och använd formler för sinus av adderade vinklar. Sedan kan man säkert använda formler för dubbla vinklar på 2x-bitarna.

utnyttja sambandet cos(a) = sin(90-a) i HL

sen tar du arcsin i bägge led

Är det såhär du menar?

men var kommer det ifrån att cos x = sin (90-x) ?

Att skriva 90 är inte så bra om allt ska göras i radianer.

Men att cos(x) = sin(pi/2 - x) ska vara känt.

Såhär då?

går det att härleda att cos(x) = sin(pi/2 - x) på något vis?

hur menar du sedan med arcsinus?

Arcsin är det som du använde i inlägg 4, som du skrev som sin^-1

Rita en rätvinklig triangel och fundera på definitionerna av sin och cos.

Så jag ska ta arcsin på hela vänsterledet och hela högerledet? Så som i inlägg 4?

Var kommer man då? Går ju ej att skriva in det på miniräknare.

Du behöver ingen miniräknare för det här.

Vad är arcsin(sin(x)) ?

Laguna skrev:
Rita en rätvinklig triangel och fundera på definitionerna av sin och cos.

Jag läste på lite om det och kom fram till det här. Är detta korrekt?

Ture skrev:
Du behöver ingen miniräknare för det här.

Vad är arcsin(sin(x)) ?

Det blir väl x? Så jag kommer få

3x = 2pi/ 2 - x ?

Det är en av många lösningar,

tänk på att vi har med periodiska funktioner att göra, du måste ha med samtliga lösningar, så en lösningsmängd ges av

3x = 2pi/ 2 - x +2n*pi

Edit, det kom med en 2a för mycket

3x = pi/ 2 - x +2n*pi

Dessutom gäller för sinusfunktionen att

sin(a) = sin(pi-a) Kolla i enhetscirkeln!

därför har vi en lösningsmängd till:

pi-3x = 2pi/ 2 - x +2n*pi Edit: Här blev det också lite fel, nu struket

Du får lösa ut x ur de bägge ekvationerna.

Såhär långt har jag kommit nu. Tack så mycket.

undrar dock lite först och främst om allting ser rätt ut? Känns som att 2pi/2pi = 2x känns fel?

Undrar även om man kan skriva n * 2pi istället för 2n * pi ?

Jag råkade få med en tvåa för mycket i mitt förra inlägg så här ska de två lösningsmängderna se ut:

1.) 3x = pi/2 - x +2n*pi

2.) pi-3x = pi/2 - x +2n*pi

När du löser ekvationer måste du ha med alla termer hela vägen, även periodicitetstermen. Jag visar på den första ekvationen så får du försöka på den andra

3x = pi/ 2 - x +2n*pi Addera x i bägge led

4x = pi/2 +2npi Dela bägge led med 4

x = pi/8 + n*pi/4

Som svar på din fråga n*2pi är lika rätt att skriva som 2n*pi

Tillägg: 27 feb 2023 14:41

jag gjorde fel i sista divisionen

ska bli

x = pi/8 +npi/2

aha ja självklart tack!

jag får den andra funktionen till det här? Känns som jag förstått det rätt. Och här måste vi väl ta

Pi/4 + n * pi

Med risk för att vara tjatig: Du måste ha med alla termer, alltså även periodiciteten, eftersom det står i uppgiften att du ska lösa fullständigt måste alla lösningar vara med, annars blir det poängavdrag, i värsta fall inga poäng alls.

pi-3x = pi/2 -x +2npi

2x = pi/2 -2npi ( eftersom n är ett godtyckligt heltal har minustecknet framför 2npi ingen betydelse)

x₂ = pi/4 +n*pi

sen tidigare

x₁ = pi/8 + n*pi/4

Nästa steg är att prova i ursprungsekvationen om vi har fått fram rätt lösningar!

Om så är fallet är det också bra att lägga in sina svar i enhetscirkeln för att se om det går att förenkla. (ibland gör det det, lösningarna kan överlappa varandra, ibland inte)

Tillägg: 27 feb 2023 14:42

Jag gjorde ett fånigt fel tidigare,

x₁ = pi/8 + npi/2

Okej tack!!! Så mycket. Men finns det fler lösningen på x ? Eller det gör det kanske ej eftersom vi får med alla när vi tar + n * x

Vi har med alla lösningar,

dessvärre har det smugit sig in ett fel, se min kommentar på inlägg 17 och 15

Okej tack så jätte mycket för all hjälp!

Ska det vara något annorlunda när det kommer till N * x eftersom uppgiften är sin 3x = cos x ?

alltså att det är 3x?

Kan du förtydliga frågan?

Ja jag har varit med om tidigare att man delar själva t.ex n * pi/4 i vårat fall. Eftersom uppgiften är sin 3x och inte sin x borde man inte dela själva period saken med 3 också då?

plommonjuice87 skrev:
Eftersom uppgiften är sin 3x och inte sin x borde man inte dela själva period saken med 3 också då?

Jo, det ska man och det har även gjorts. Men inte med 3 utan med 4 i ena lösningsmängden och med 2 i andra lösningsmängden.

Jag hängde inte med på alla turer i den här tråden, så jag skriver bara hur jag själv skulle ha löst uppgiften.

$\sin(3x)=\cos(x)$

Skriv om HL:

$\sin(3x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)$

Vi har nu två lösningsmängder.

Lösningsmängd 1:

$3x=\frac{\pi}{2}-x+n\cdot2\pi$

Addera $x$ till båda sidor:

$4x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

Här dividerar vi hela ekvationen, inklusive periodiciteten, med 4:

$x=\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}$

Lösningsmängd 2:

$3x=\pi -(\frac{\pi}{2}-x)+n\cdot2\pi$

Förenkla HL:

$3x=\frac{\pi}{2}+x+n\cdot2\pi$

Subtrahera $x$ från båda sidor:

$2x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

Här dividerar vi hela ekvationen, inklusive periodiciteten, med 2:

$x=\frac{\pi}{4}+n\cdot\pi$

Rita in alla lösningarna i enhetscirkeln och undersök om det går att förenkla svaret.

Såhär får jag det till. Jag ser inte riktigt hur det skulle vara mer lösningar?

Du har bara markerat lösningarna för n = 0 och n = 1.

Lägg även till lösningarna för n = 2, n = 3 och n = 4 i bilden.

N 2, kommer väl vara tillbaka till samma ställe om det är pi/4

sen pi/8 är såhär.

Japp, det stämmer.

Det ser alltså ut så här:

Ser du någon möjlighet att förenkla svaret?

Ahaaa jo jag tror det. Är det 100 grader eller vad det är + n * 180

fast då i radianer såklart. Är det korrekt eller finns det t.o.m. mer?

Nej jag ser ingen möjlighet att ange lösningsmängderna på ett enklare sätt än det vi gjorde i svar #24.

Okej tack så jättemycket för all hjälp!