radianer

matte01 skrev :

Hej!

Ska lösa denna uppgift utan miniräknare

        a, cos 7π  
Jag förstår att man ska använda enhetscirkeln men fattar fortfarande inte hur jag gör det i sådana fall. Och finns det andra sätt än enhetscirkeln man kan använda?

Eftersom cosinusfunktionen är periodisk med perioden 2pi så gäller att cos(7pi) = cos(pi + 6pi) = cos(pi + 3*2pi) = cos(pi)

Okej, men förstår inte  hur cos(pi+3*2pi) blir cos(pi) ?

matte01 skrev :

Okej, men förstår inte  hur cos(pi+3*2pi) blir cos(pi) ?

Därför att om du har cos(pi + 6pi) då ska du börja från vinkeln 0 och vrida först 6st pi och det motsvarar 6* 180 grader, om du vrider så mycket då hamnar du ju på samma plats som början ellerhur? för att det är samma sak som 2*360 grader, du har liksom bara gått 2 varv. Sedan så återstår ju ett pi för att du skulle vrida 7st pi och pi är 180 grader så du ska bara vrida 1 varv alltså.

Känns som att det blev väldigt dåligt formulerat, säg till om du inte förstår.

https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-interactive-unit-circle.html

här, lek lite med den så kanske du får en större förståelse.  Börja på 0 grader och sedan vrider du moturs pi*7 grader, 7*pi är samma sak som pi + pi + pi + pi + pi + pi + pi, du vrider först pi och hamnar på motsatt sida sedan så repeterar du tills du har vridit 7pi. 

matte01 skrev :

Okej, men förstår inte  hur cos(pi+3*2pi) blir cos(pi) ?

Om du tänker på enhetscirkeln och utgår från vinkeln $\pi$ och går tre hela varv på vardera $2\pi$ så kommer du tillbaks på samma punkt i enhetscirkeln.

Du kan också se det genom additionsformeln för cosinus:

$\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

Det ger:

$\cos (a+n\cdot 2\pi) = \cos a \cos (n\cdot 2\pi) - \sin a \sin (n\cdot 2\pi) =$

$\cos a \cdot 1 - \sin a \cdot 0 = \cos a$

Nu förstår jag! Tack så hemskt mycket för hjälpen allihopa:)

Ytterligare en vinkling (hehe):

Att cosinusfunktionen har en period på 2pi innebär att samma funktionsvärde återkommer då funktionsargumentet ökar (eller minskar) ned 2pi.

Dvs cos(v) = cos(v + 2pi), där v är en godtycklig vinkel.

Alltså gäller att:

cos(v) = cos(v + 2pi) = cos(v + 2pi + 2pi) = cos(v + 2pi + 2pi + 2pi) och så vidare.

Allmänt kan detta skrivas cos(v) = cos(v + n*2pi), där n är ett godtyckligt heltal.

Med v = pi och n = 3 så får vi att cos(pi) = cos(pi + 3*2pi) = cos(7pi).

Yngve skrev :

Ytterligare en vinkling (hehe):

Att cosinusfunktionen har en period på 2pi innebär att samma funktionsvärde återkommer då funktionsargumentet ökar (eller minskar) ned 2pi.

Dvs cos(v) = cos(v + 2pi), där v är en godtycklig vinkel.

Alltså gäller att:

cos(v) = cos(v + 2pi) = cos(v + 2pi + 2pi) = cos(v + 2pi + 2pi + 2pi) och så vidare.

Allmänt kan detta skrivas cos(v) = cos(v + n*2pi), där n är ett godtyckligt heltal.

Med v = pi och n = 3 så får vi att cos(pi) = cos(pi + 3*2pi) = cos(7pi).

Tack verkligen! Detta var mycket till hjälp!

Nu vet jag inte om det behövs fler inlägg här, men i alla fall:

Man kan ange en vinkel i vilken enhet som helst, precis som man kan ange längd i meter eller tum eller sjömil eller...

cos(7*pi) är EXAKT samma sak som cos(TreOchEttHalvtVarv). Vinkeln 7*pi radianer är tre och ett halvt varv.

Om man vrider tre och ett halvt varv kommer man naturligtvis till EXAKT samma punkt som om man vrider ett halvt varv.

...eller fem och ett halvt varv. Eller fyrtiosju och ett halvt varv. Eller...

Därför räcker det att beräkna cos(EttHalvtVarv). Vinkeln "Ett halvt varv" kan du kalla 180 grader eller pi radianer, vilket du vill.