Quotient spaces topology

Kul uppgift!  Det första som kanske ställer till det för dig är att det inte är helt tydligt vilken ekvivalensrelation det är fråga om, så jag tänker att jag kan börja med en liten opåkallad utläggning om det.

Generellt är det så att om $G$ är en grupp och $X$ är en mängd, och vi har en gruppverkan $G\times X\to X,\:(g,x)\mapsto g.x$, så får vi en ekvivalensrelation $\sim$, definerad av att $x\sim g.x$ för alla $x\in X$ och alla $g\in G$.

Ekvivalensklasserna med avseende på $\sim$ brukar kallas för banor (eng. orbits). Anlogt med hur vi brukar göra för vanliga ekivalensrelationer vi kan låta $[x]$ beteckna den bana som $x$ tillhör, och låta $X/G=X/{\sim}=\{[x]:x\in X\}$ vara mängden av alla banor.

Vi kan även införa en avbildning $q: X\to X/{\sim}$ med $q(x)=[x]$.

Ta gärna några ögonblick till att fundera över vad detta innebär i ett konkret exempel! Till exempel kan du låta $X=\mathbb{R}$ och $G=\mathbb{Z}$, och låta gruppverkan vara given av $n.x=n+x$. Dvs. varje heltal $n$ förskjuter tallinjen med $n$ steg åt höger. Då kommer $[0]=\{\ldots,-1,0,1,2,\ldots\}$ bilda en bana, och $[\frac{1}{2}]=\{\ldots,-0.5,0.5,1.5,\ldots\}$ att bilda en annan bana. Faktum är att vi får precis en bana för varje reelt tal på intervallet $[0,1)$. Eftersom det gäller att $[0]=[1]$ så kan vi, om vi vill,  betrakta $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ som ett intervall med ändarna ihopklistrade - alltså som en cirkel*! 

Ett annat klassiskt exempel får man om man låter $X$ vara en kvadrat, och låtar $G=D_4$ verka på $X$ på det "självklara sättet" (genom rotationer och speglingar). Om vi nu låter $\sim$ beteckna den motsvarande ekvivalensrelationen så kommer alla kvadratens hörn att bli ekvivalenta, och tillsammans bilda en bana. Exakt hur $X/D_4$ ser ut är lite svårt att beskriva, men försök gärna göra dig en bild av det ändå.

Okej, nog med allmänt prat! I ditt specifika fall verkar den additiva gruppen $G=\mathbb{Q}$ på $X=\mathbb{R}$ genom $r.x=r+x$, för $r\in \mathbb{Q}$ och $x\in\mathbb{R}$. Detta påminner om heltalens verkan på $\mathbb{R}$ som jag beskrev ovan, men eftersom $\mathbb{Q}$ är en "större" (nåja) mängd än $\mathbb{Z}$ så kommer "fler" element i $\mathbb{R}$ att bli ekvivlenta. Nu ligger till exempel $0$ och $\frac{1}{2}$ i en och samma bana $[0]=\mathbb{Q}$, liksom $17$ och $\frac{9}{13}$. Däremot ligger exv. $\pi$ i en annan bana $[\pi]=\{\pi+r:r\in\mathbb{Q}\}$, ihop med bland annat $\pi+\frac{2}{3}$ och $\pi-\frac{7}{11}$.

Eftersom banorna har formen $[x]=\{x+r:r\in\mathbb{Q}\}$ kan man om man vill skriva dem som $x+\mathbb{Q}$, men jag är personligen inget stort fan av den notationen.

Hjälper detta dig något? Kan du nu följa din lärares resonemang? Är du med på vad lärarens bevisstrategi är? Förstår du ungefär hur $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ ser ut? Kan du reda ut vad definitionen av kvottopologin säger i just det här fallet?

Om något fortfarande är oklart är det bara att hojta till, så hjälper jag eller någon annan dig gärna vidare.

* Din andra tråd handlar om att göra detta halvflummiga resonemang precist! Det du gör där är ju att försöka visa att om vi utrustar $\mathbb{R}$ med den vanliga euklidiska topologin och $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ med kvottopologin, så får vi ett rum som är homeomorft med en cirkel.