Pythagoras sats up 56

Nej det beviset var inte särskilt bra. Du kan kalla sidorna för vad du vill, men ditt sista steg blir ju någon sorts cirkelargument. Det funkar inte.

Hur kan man istället tänka?

Det här är ju inte så lätt att komma på, tycker jag, om man inte har sett det förut. Jag tror det är användbart att dra linjer i den högra figuren så att det blir trianglar som har hörn gemensamma med kvadratens hörn och dessutom har sidorna a och b. Alltså börja med att förbinda punkten nedanför övre vänstra hörnet med punkten till höger om det hörnet.

Den högra figuren:

Nu kan du uttrycka arean för den yttre kvadraten på 2 sätt. Det ena är ${(a+b)}^2$
Det andra sättet är att addera areorna av alla trianglar och kvadraten i mitten.
Sätt sedan areorna lika med varandra och du kommer kunna förenkla tills det blir $a^2+b^{2=}{c}^2$

Om man använder bägge bilderna samtidigt blir det kanske tydligare.
Ytan av de rosa kvadraterna måste ju vara lika (eftersom ytan av de 4 trianglarna är lika, du får själv rita in dem).
Då blir $a^2+b^2=c^2$

Q.E.D

Laguna skrev:

Det här är ju inte så lätt att komma på, tycker jag, om man inte har sett det förut. Jag tror det är användbart att dra linjer i den högra figuren så att det blir trianglar som har hörn gemensamma med kvadratens hörn och dessutom har sidorna a och b. Alltså börja med att förbinda punkten nedanför övre vänstra hörnet med punkten till höger om det hörnet.

Alltså: rita en snedställd kvadrat med sidan c i den högra kvadraten. Den stora kvadraten är fylld av en kvadrat c² och 4 trianglar ab/4. Rita ett lodrätt och ett vågrätt streck i den vänstra kvadraten. Kvadraten är fylld av två kvadrater a² och b² och två rektanglar ab (som man kan dela upp i 4 trianglar ab/2 om man vill). Eftersom båda kvadraterna innehåller lika många och lika stora trianglar, måste a²+b² = c².

joculator skrev:

Om man använder bägge bilderna samtidigt blir det kanske tydligare.
Ytan av de rosa kvadraterna måste ju vara lika (eftersom ytan av de 4 trianglarna är lika, du får själv rita in dem).
Då blir $a^2+b^2=c^2$

Q.E.D

Jag förstår inte riktigt hur du tänker.... Varför ritade du de 2 olika rosa kvadraterna och en triangel? 

joculator skrev:

Den högra figuren:

Nu kan du uttrycka arean för den yttre kvadraten på 2 sätt. Det ena är ${(a+b)}^2$
Det andra sättet är att addera areorna av alla trianglar och kvadraten i mitten.
Sätt sedan areorna lika med varandra och du kommer kunna förenkla tills det blir $a^2+b^{2=}{c}^2$

Är det enda man behöver göra för att bevisa Pythagoras sats? 
Alltså ska det vara  (a*b)/2 + (b*a)/2 + (ba/2) + (ab/2) +  c^2 . Är det härifrån jag ska förenkla?

Områdena runt de rosa kvadraterna innehåller 4 trianglar. Alla har sidorna a,b,c och arean a*b/2. Är du med på det? Detta är helt avgörande så om du inte ser vilka trianglar jag menar får du säga till.

Eftersom arean av den stora ytre kvadraten är samma i de båda figurerna och arean av de 4 trianglarna är samma i de båda figurerna måste arean av det som återstår (dvs de rosa kvadraterna) också vara lika.
(arean av stor kvadrat - arean av trianglarna = arean av de rosa kvadraterna)

Alltså måste summan av areorna av de rosa kvadraterna i den vänstra figuren vara lika stor som arean av den rosa kvadraten i den vänstra. dvs $a^2+b^2=c^2$

joculator skrev:

Områdena runt de rosa kvadraterna innehåller 4 trianglar. Alla har sidorna a,b,c och arean a*b/2. Är du med på det? Detta är helt avgörande så om du inte ser vilka trianglar jag menar får du säga till.

Eftersom arean av den stora ytre kvadraten är samma i de båda figurerna och arean av de 4 trianglarna är samma i de båda figurerna måste arean av det som återstår (dvs de rosa kvadraterna) också vara lika.
(arean av stor kvadrat - arean av trianglarna = arean av de rosa kvadraterna)

Alltså måste summan av areorna av de rosa kvadraterna i den vänstra figuren vara lika stor som arean av den rosa kvadraten i den vänstra. dvs $a^2+b^2=c^2$

Varför ska man rita en triangel? Där hänger jag inte med

Jag förstår inte vad du menar. Du ville ha ett sätt att bevisa Pythagoras sats. Detta är ett sätt. 

Du skrev att man ska beräkna arean av trianglarna + kvadraten som har sidan c och sedan förenkla och då kommer man få a^2 + b^2 = c^2 

Är det så man ska göra?

(a*b)/2 + (b*a)/2 + (ba/2) + (ab/2) +  c^2 . Är det härifrån jag ska förenkla?

om vi utgår från den bilden 

Varför gör du inte som det står i uppgiften och använder båda de stora kvadraterna? Läs igenom den här tråden - här finns det precis hur det är tänkt.

Nej, jag skrev att du skulle ta arean av den yttre kvadraten och sedan ta bort trianglarna för att få fram arean av den inre kvadraten.
Vad är arean av den yttre kvadraten (den med sidorna a+b)?     Du ser säkert att den är ${(a+b)}^2$
Arean av trianglarna har du räknat ut den är $4·\frac{ab}{2}=2ab$

Så den inre kvadraten har arean

${(a+b)}^2-2ab$      det var detta jag ville att du skulle förenkla.  Visa detta. Börja med att utvecka kvadratuttrycket m.h.a kvaderingsregeln.

När du gjort det så sätter du det lika med det andra sättet att räkna ut den mindre kvadratens area som är $c·c=c^2$. 

Vänstra kvadraten: a² + b²+ 4 trianglar

Högra kvadraten: c² + 4 trianglar

Vänstra kvadraten = högra kvadraten, så

a² + b²+ 4 trianglar = c² + 4 trianglar

minus 4 kvadrater på båda sidorna

a² + b² = c²

Har jag tänkt rätt