Pythagoras ekvation

Visa att Pythagoras ekvation $x^{2} + y^{2} = z^{2}$

har oändligt många jämna heltalslösningar.

I boken står det att om vi antar att $y = 2 a b, x = a^{2} - b^{2} o c h z = a^{2} + b^{2}$

och att a och b är jämna tal då kan vi bevisa att ekvationen har oändliga många jämna heltalslösningar. Jag hänger helt och hållet med att det går att bevisa påståendet på det viset.

Men det som förvånar mig är att hur de har kommit på dessa antaganden?

Min gissning är att man har utgått från kvadreringsreglerna.

Smaragdalena skrev:
Min gissning är att man har utgått från kvadreringsreglerna.

Ja, de här uttrycken liknar mycket med "en splittrad kvadregeringsregel". Men hur kan t.ex. y=2ab ?

Marx skrev:
Smaragdalena skrev:
Min gissning är att man har utgått från kvadreringsreglerna.
Ja, de här uttrycken liknar mycket med "en splittrad kvadregeringsregel". Men hur kan t.ex. y=2ab ?

I Wikipedia står det att de tre uttrycken för x,y och z är hämtade från en formel angiven av Euklides.

Ett "enklare" bevis är kanske att utgå från talen 6, 8 och 10.

Då gäller

$6^2+8^2=10^2$

Multiplicera alla tal med talet n så gäller fortfarande likheten.

$(6n)^2+(8n)^2=(10n)^2$

Om n är ett heltal är talen 6n, 8n och 10n jämna heltal.

Det finns då oändligt många lösningar med jämna heltal, eftersom det finns oändligt många heltal.

Dr. G skrev:
Ett "enklare" bevis är kanske att utgå från talen 6, 8 och 10.
Då gäller
$6^2+8^2=10^2$
Multiplicera alla tal med talet n så gäller fortfarande likheten.
$(6n)^2+(8n)^2=(10n)^2$
Om n är ett heltal är talen 6n, 8n och 10n jämna heltal.
Det finns då oändligt många lösningar med jämna heltal, eftersom det finns oändligt många heltal.

Ja, det stämmer.

x²=a⁴-2a²b²+b⁴

y²=4a²b²

z²=a⁴+2a²b²+b⁴

x²+y²=a⁴-2a²b²+b⁴+4a²b²=a⁴+2a²b²+b⁴=c²

Jag tror att någon har varit klurig och elegant och har kommit på detta.

Smaragdalena skrev:
x²=a⁴-2a²b²+b⁴
y²=4a²b²
z²=a⁴+2a²b²+b⁴
x²+y²=a⁴-2a²b²+b⁴+4a²b²=a⁴+2a²b²+b⁴=c²
Jag tror att någon har varit klurig och elegant och har kommit på detta.

JA! Nu vet jag, tack!

Svara

Visa senaste svar